1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 【划重点】 1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量． 2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系． 3．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系． 【知识梳理】 知识点一　空间中直线、平面的向量表示 1．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2．平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 知识点二　线线、线面、面面平行的向量表示 1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点三　线线、线面、面面垂直的向量表示 1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【例题详解】 一、直线的方向向量 例1　(1)若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． (2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1， AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． 跟踪训练1　(1)设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为 =（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则m等于（     ） A．1 B．2 C． D．3 (2) 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________． 二、求平面的法向量 例2　如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的法向量； (2)求平面的法向量． 跟踪训练2　已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量． 三、证明线线平行 例3　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点． 求证：四边形AEC1F是平行四边形． 四、证明线面平行 例4　如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面． 跟踪训练4 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．求证：平面． 五、证明面面平行 例5 如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 跟踪训练5　如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： （1）MN∥平面CC1D1D； （2）平面MNP∥平面CC1D1D． 六、证明线线垂直问题 例6　如图，在直四棱柱中，，，，． 求证：； 跟踪训练6　如图，在直三棱柱-中，3，=4，5， (1)求证； (2)在上是否存在点，使得并说明理由 七、证明线面垂直问题 例7　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， E为PC的中点，EF⊥BP于点F. 求证：PB⊥平面EFD. 跟踪训练7　在正四棱柱中，，为的中点. 求证：（1）平面. （2）平面. 八、证明面面垂直问题 例8　如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 跟踪训练8　如图，在正四棱锥P－ABCD中，侧棱长为，底面边长为2．点E，F分别CD，BC中点． 求证：(1)PA⊥EF； (2)平面PAB⊥平面PCD．