1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 【划重点】 1．了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标． 2．掌握空间两点间距离公式. 3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 【知识梳理】 知识点一　空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点四　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 【例题详解】 一、求空间点的坐标 例1　(1)在长方体中，，，建立适当的空间直角坐标系并确定点的坐标． (2)如图所示，△ABC是一个正三角形， 平面ABC，，且CE＝CA＝2BD=2，M为AE的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 跟踪训练1　(1)如图，四边形ABCD和ADPQ均为边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，建立适当的空间直角坐标系并求点A，E，M，F的坐标． (2)在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 二、空间点的对称问题 例2　在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 跟踪训练2　(1)已知B与点关于点对称，则点B的坐标是______． (2)点在平面内的射影的坐标为_______． (3)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 三、空间向量的坐标 例3　如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标． 跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 四、空间向量的坐标运算 例4 (1)已知，，则（    ） A． B． C． D． (2)设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 (3)已知空间直角坐标系中，点，，若，，则__________. (4)已知，，则线段的中点坐标为________；________． (5)已知向量，，，且，. (i)求向量，，； (ii)求向量与向量所成角的余弦值. 跟踪训练4　(1)与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B．