1.2 空间向量基本定理-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2　空间向量基本定理 【划重点】 1．掌握空间向量基本定理. 2．会用基底法表示空间向量. 3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想． 【知识梳理】 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 知识点四　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点五　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【例题详解】 一、空间的基底 例1　(1)为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， (2)已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 (2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________. 二、空间向量基本定理 例2　(1)在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． (2)如图，在四面体OABC中，，且，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2　(1)如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． (2)已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ） A． B． C． D． 三、证明平行、共面问题 例3　如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. （1）求证：E，F，G，H四点共面； （2）求证：平面EFGH； （3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有. 跟踪训练3 (1)如图，已知斜三棱柱，在和上分别取点，，使，，其中，求证：平面. (2)如图，在四面体中，点、分别为、的中点，问：与、是否共面？ 四、求夹角、证明垂直问题 例4 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. (1)求证EG⊥AB； (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 跟踪训练4　已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 五、求距离(长度)问题 例5 如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记. （1）试用表示； （2）求模. 跟踪训练5 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量； (2)求BM的长. 【课堂巩固】 1．下列说法正确的是（    ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行． B．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． C．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线． D．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面． 2．是空间的一组基底，则可以与向量构成基底的向量（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，二面角α－l－β等于，A，B是棱l上两点， BD, AC 分别在平面α，β内