1.1.2 空间向量的数量积运算-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2　空间向量的数量积运算 【划重点】 1．会识别空间向量的夹角. 2．熟记数量积公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉及其变形. 3．能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题． 4．理解并熟记向量a在向量b上的投影向量：|a|cos〈a，b〉 【知识梳理】 知识点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【例题详解】 一、数量积的计算 例1　(1)如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（    ） A． B． C．1 D．2 (2)如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算： ①； ②； ③； ④． 跟踪训练1　(1)已知空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． (2)如图，在直三棱柱中，，E，F分别为棱的中点，则_____________． 二、利用数量积证明垂直问题 例2　(1)如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (i)用向量表示向量； (ii)求证. (2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点， 求证：A1O⊥平面GBD. 跟踪训练2　(1)已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且． 求证：． 三、用数量积求解夹角和模 例3　(1)如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，. (i)求线段的长； (ii)求异面直线与所成角的大小. (2)如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． (i)用向量表示； (ii)求． 跟踪训练3 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)求． (2)求FH的长． 四、投影向量 例4 (1)四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． (2)如图，在三棱锥中，平面，，，．试确定在上的投影向量，并求． 跟踪训练4　如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____. 【课堂巩固】 1．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 2．空间四边形中，，，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 3．已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）在棱长均为1的四面体中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______. 8．若ABCD为空间四边形，则______． 9．已知在三棱锥中，，则___________. 10．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求 (1)； (2)． 11．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 12．如图, 在直三棱柱 (即平面),, , 求 13．如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 14