1.1.1 空间向量及其线性运算-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章《空间向量与立体几何》 1.1.1　空间向量及其线性运算 【划重点】 1．理解空间向量的有关概念. 2．类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差. 3．理解向量共线、向量共面的定义. 4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面． 【知识梳理】 知识点一　空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四　共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使p＝xa＋yb. 【例题详解】 一、向量概念的应用 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 (2)下列命题中，正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 跟踪训练1　(1)下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 (2)给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、空间向量的加减运算 例2　(1)空间向量（    ） A． B． C． D． (2)已知空间向量，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2　(1)（多选）已知平行六面体，则下列各式运算结果是的为（    ） A． B． C． D． (2)在正方体中，________． 三、空间向量的线性运算 例3　(1)已知在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． (2)如图，平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3 (1)在三棱锥中，是的中点，则________. (2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (i)化简：－－＝________； (ii)用，，表示，则＝________. 四、向量共线的判定及应用 例4 (1)满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． (2)如图，已知空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别是，上的点，且，. 用向量法求证：四边形是梯形. 跟踪训练4　(1)已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． (2)已知A，B，C三点共线，