专题04 实数-【暑假精品课程】2023年新八年级数学暑假衔接（北师大版，成都专用）

专题04 实数 【知识点精讲】 1.实数 有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 3.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 4.两个实数比较大小 ①负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。 ②数轴上，如果点A,点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离 5、实数的运算 1、实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。 2、实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减。同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里的。 3、实数的运算结果 涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。 【基础题型梳理】 题型1.实数的概念与分类 例1．有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．下列结论正确的是（        ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．循环小数是实数 D．一个正数的n次方根有n个 例3．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ；正实数集合： ；负实数集合： ． 题型2.实数与数轴的关系 例1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 例2．如图，数轴上点表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 例3．如图，数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为2，以为边在数轴上方作一个正方形，以A为圆心，为半径作圆交数轴的负半轴于点E，则点E表示的数是___________．    例4．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和．点B为线段AC的中点，则C 表示的实数为_______．    例5．如图，在数轴上点、、所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．    (1)求出实数的值 (2)求的值． 题型3.实数比大小 例1．已知实数a、b满足，则（　　） A． B． C． D． 例2．已知，则a、b、c的大小关系是(   ) A． B． C． D． 例3．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 例4．比较大小：____3（填入“”或“”号）． 例5．比较大小： _________ （填“>”“=”或“<”）． 题型4.新定义问题 例1．如果记，并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么________（结果用含的表达式表示）． 例2．定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________． 例3．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【能力提升】 例1．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是_____． 例2．将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，记，，，，，，，，则______． 【课后训练】 1．下列说法正确的是（    ） A．是最小的无理数 B．两个无理数的和不一定是无理数 C．绝对值最小的实数不存在 D．有理数与数轴上的点一一对应 2．实数的相反数是2023，那么实数是（    ） A．2023 B． C． D． 3．在实数，，0，，1中，最小的实数是（    ） A． B． C．0 D． 4．以下四个数：，3.14，，0.101，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如为实数的数叫做复数，用表示，任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如：表示为，则可表示为（ ） A