专题02 立方根-【暑假精品课程】2023年新八年级数学暑假衔接（北师大版，成都专用）

专题02 立方根 【知识点精讲】 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【基础题型梳理】 题型1.立方根的概念 例1．下列说法正确的是（ ） A．没有立方根 B．是的立方根 C．一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数 D．的立方根是 例2．有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．其中正确的是__________（填序号）． 例3．下列说法正确的是（　　） A．8的立方根为 B．立方根等于它本身的只有1 C．的平方根是 D．平方根等于立方根的数只有0 例4．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 例5．若，则x和y的关系是（　　） A．x=y=0 B．x和y互为相反数 C．不能确定 D．x和y相等 题型2.求数的立方根 例1．计算：_____________． 例2．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则______． 例3．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是______． 例4．计算：． 例5．若一个正数的平方根分别是和，求的立方根． 例6．已知，且，，求的值． 题型3.平方根与立方根综合应用 例1．若，，则的值为（    ） A． B．5 C．或 D．或5 例2．一个正数y的两个平方根分别是与，求的立方根. 例3．已知正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，求的值． 例4．已知：一个正数x的两个平方根分别是与，． (1)求x的值； (2)求的立方根． 题型4.探究规律性问题 例1．已知，，则______________； 已知，，则__________． 例2．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，试确定 是 __________位数； （2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ________________； （3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是___________ ； （4） 用上述方法确定 110592 的立方根是_______________ ． 例3．观察下列一组等式： 第①个等式： 第②个等式： 第③个等式： 第④个等式： 根据你观察到的规律，完成以下问题： (1)第⑤个等式为______； (2)用n的式子表示第个等式为______； (3)若等式是符合上面规律的等式，的立方根是，求a的值． 例4．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【能力提升】 例1．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试． 第一步：， ， 它的立方根是一个两位数． 第二步：的个位数是9，． 能确定的个位数是9． 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而，可得． 由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39． [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：______． 例2．观察下列计算过程，