上海市闵行区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

闵行区2022学年第二学期高一年级数学期末区统考 2023.6 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.函数的最小正周期是 . 2.若复数,则 . 3.已知角的终边经过点,则的值是 . 4.已知,则角 . 5.若函数的最大值为,则 . 6.已知,则的值为 . 7.已知向量的夹角为,则在方向上的数量投影为 . 8.已知是实系数一元二次方程的一个根,则 . 9.已知与平行,则实数的值为 . 10.在平面直角坐标系中,角的终边与角的终边关于轴对称.若, 则 . 11.已知函数的定义域为,且当时,,其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点,则实数的取值范围是 . 12.已知平面向量两两互不相等,且. 若对任意的,均满足,则当且时,的值为 . 2、 选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.复数的虚部为（ ） (A)1 (B)-1 (C)i (D) 14.下列命题中正确的是（ ） (A) (B) (C)若,则 (D)若,则 15.某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子: ①; ② ③; 若存在恰巧能使上述某些式子成立,则能成立的式子最多有（ ） (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 16.在复平面上,设点对应的复数分别为,当由连续变到时,向量所扫过的图形区域的面积是（ ） (A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题共有5题,满分78分）考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 在矩形中,,点分别是边的中点,设向量. (1)试用表示向量与; (2)求的值. 18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 欧拉公式将自然对数的底数,虚数单位,三角函数联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”.已知复数满足. (1)求; (2)若复数是纯虚数,求的值. 19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示,将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区,分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60米,,动点在扇形的弧上,点在半径上,且. （1）当米时,求分隔栏的长; （2）综合考虑到成本和美观等原因,希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大,求该种植区三角形的面积的最大值. 20. (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知函数,其中,分别求满足下列条件的函的解析式. (1) . (2)是的两个相异零点,的最小值为,且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. （3）,对任意的实数,记在区间上的最大值为,最小值为,函数的值域为. 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对看作一个向量,记,则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于,我们有如下运算法则: ①; ②; ③ ④. (1)设,求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论: ①; ②; ③. 试判断这三个结论是否正确,并对正确的结论予以证明. (3)若,集合.对于任意的,求出满足条件的,并将此时的记为,证明对任意的,不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 参考答案 一、填空题 1.; 2.1; 3.; 4. 5.2; 6. 7.1; 8.5; 9.0; 10.