上海市进才中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

进才中学2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分，请将正确答案直接填写在答题纸相应空格上） 1．已知，则______． 2．已知复数（i为虚数单位），若，则实数m的值为______． 3．若是关于x的实系数方程的一个根，则______． 4．已知数列为等比数列，其前n项和为，且，，则______． 5．已知的三边，，，则角A的大小是______． 6．设，，则在方向上的数量投影为______． 7．已知数列的前n项和为，数列满足，则____． 8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中论述了有关二阶等差数列的概念，它与一般的等差数列不同，相邻两项的差并不相等，但是逐项差数构成等差数列． 例如，数列1，3，6，10相邻两项的差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，，，，则______． 9．如果复数z满足，那么的最大值是______． 10．在中，O为中线AM线段上的一个动点，若，则的取值范围是______． 11．在数列中，对任意，，当且仅当，，若满足，则m的最小值为______． 12．规定：．设函数，若函数在上严格单调递增，则实数的取值范围是______． 二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置．） 13．，是一组不平行的向量，，，，且A、C、D三点共线，则（ ） A．8 B．4 C．2 D．1 14．下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 15．若严格递增数列满足，则首项的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．设，（a，b，且）．已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（ ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 三、解答题（本大题共5题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置．） 17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知复数z是纯虚数，且是实数，其中i是虚数单位． （1）求复数z； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围． 18．（本题满分 8分，第1小题满分 4分，第2小题满分4分） 已知在中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且，设AM与CN相交于点P，记，． （1） 请用，表示向量； （2） 若，设，的夹角为，且，求证：． 19．（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2022年9月以来的第n个月（2022年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为、和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中a、b为常数），已知万件，万件，万件． （1）求a，b的值，并写出与满足的关系式； （2）利用数学归纳法证明销售总量一直小于2万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由． 20．（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分8分） 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作．①求函数的最小值； ②若函数在内恰有6个零点，求m的值． 21．（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分） 记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令． （1）若，写出，，，的值； （2）设，若，求的值及时数列的前n项和； （3）求证：“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列． 参考答案 一、填空题 1.； 2.3； 3.3； 4.31； 5.； 6.； 7.； 8.4952； 9.； 10.； 11.512； 12.； 11.在数列中，对任意，，当且仅当，，若满足，则m的最小值为______． 【答案】512 【解析】不妨设,由题意可得,, 因为,所以, 同理可得,, 所以 因为,所以,解得,又, 所以的最小值整数解为9,故的最小值为. 12. 规定：．设函数，若函数在上严格单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】函数 当时,, 当时, 在上单调递增, 增有或 解得,当时,有