第07讲 相似三角形的判定（6种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第07讲 相似三角形的判定（6种题型） 【知识梳理】 一、相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则． 二、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 常见模型如下： 三、相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 四、相似三角形判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 五、直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在和中，如果，，那么∽． A B C A1 B1 C1 【考点剖析】 题型一：相似三角形的预备定理 例1．（2022秋·安徽·九年级校联考期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC． 【变式1】如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．图中 有哪几对相似三角形？ A B C D E F 【变式2】如图，在梯形中，//，且，点、分别是、的 中点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求． A B C D E F M 题型认：相似三角形判定定理1 例2.（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：． 【变式1】.如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？ A B C D E 1 2 3 【变式2】如图，、分别是的边、上的点，且． 求证：． A B C D E 【变式3】如图，是等边三角形，，求证． A B C D E 【变式4】正方形中，是中点，于点，厘米，求的长． 【变式5】如图，在中，，，是内一点，且． 求证：． A B C P 【变式6】如图，在中，，//，点在边上，与相交于点 ， 且． （1）求证：； （2）． A B C D E F G 题型三：相似三角形判定定理2 例3.（2020·安徽淮南·统考模拟预测）已知：D、E是的边、上的点，，，，，求证：． 【变式1】如图，点是的边上的一点，且．求证：． A B C D 【变式2】如图，在与中，，．求证：． A B C D E 【变式3】如图，是内一点，是外一点，，， 求证：． A B C D E 【变式4】如图，在中，，是边上的高，点在线段上，， ，垂足分别为、． 求证：（1）；（2）． A B C D E F G 题型四：相似三角形判定定理3 例4．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有和（三角形中的每个顶点都在格点上）．这两个三角形相似吗？请说明你的理由． 【变式1】根据下列条件判定与是否相似，如果是，那么用符号表示出来． （1），，，，， （2），，，，，． 【变式2】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：∽． A B C D E F 【变式3】如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点．求证：∽． A B C D E F 【变式4】如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足． 求证：∽． A B C D E 【变式5】如图，在中，，，，，． 求证：∽． A B C D 【变式6】已知：如图，在中，，，，点D 在BC边上，且． （1）求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：∽． A B C D E F 题型五：直角三角形相似的判定定理 例5.在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形 是否相似，并说明理由． （1），； （2），，，； （3），，，； （4），，，． 【变式1】如图，在和中，，，垂足为D和，且 ． 求证：∽． A B C D A1 B1 D C1 【变式2】如图，四边形ABCD中，，，，． 求证：． A B C D 【变式3】如图，，，且．求证：． A B C D 【变式4】如图，在中，于D，于F，于G．求证：． A B C D F G 题型六:相似三角形判定综合 例6．（2021