第06讲 比例线段（5种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第06讲 比例线段（5种题型） 【知识梳理】 一．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 二．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 三．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 四．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 五．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【考点剖析】 一．相似图形（共2小题） 1．（2022秋•埇桥区期中）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．任意两个正方形 B．任意两个平行四边形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形 2．（2022秋•泗县期中）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 二．比例的性质（共8小题） 3．（2023•无为市一模）若3a＝4b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（2022秋•蒙城县期末）已知，求的值． 5．（2022秋•宁国市期末）已知：，求的值． 6．（2023•合肥一模）若，那么的值等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 7．（2022秋•安徽期中）若＝，则＝（　　） A． B． C． D． 8．（2022秋•迎江区期中）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x． 9．（2022秋•金安区校级月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0． （1）求的值； （2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值． 10．（2022秋•宣州区期末）（1）若，求的值； （2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c． 三．比例线段（共7小题） 11．（2023•庐阳区校级一模）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为 　 　． 12．（2023•定远县校级一模）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝　 　cm． 13．（2022秋•金安区校级月考）已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3． （1）求线段a，b，c的长． （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 14．（2022秋•宣城月考）若a：b＝1：2，且b是a，c的比例中项，则b：c等于（　　） A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．2：1 15．（2023•亳州模拟）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝　 　． 16．（2022秋•埇桥区期中）求证：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段