重难点04直线相关的定点、对称问题 -【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

重难点04直线相关的定点、对称问题 【考点剖析】 题型一：求解直线的定点 一、单选题 1．（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 3．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 二、多选题 4．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）过直线上一点作圆的两条切线.切点分别为，若四边形周长的最小值是6，则（    ） A． B．的最大度数为 C．直线必过点 D．的最小值为 三、填空题 5．（2022秋·高二校考课时练习）关于直线​，有下列说法: ①对任意​，直线​不过定点； ②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点； ③当​时，点​到直线​的距离最小值为​； ④对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线. 其中正确的是___________. 四、解答题 6．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）已知直线，椭圆. (1)证明：直线l与椭圆C恒有两个交点； (2)已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围. 7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知圆和直线. (1)求证：不论取什么值，直线和圆总相交； (2)求直线被圆截得的最短弦长及此时的直线方程. 8．（2023春·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中）已知圆：，直线：. (1)设直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于两点，求弦中点的轨迹方程. 9．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆，直线. (1)证明：直线和圆恒有两个交点； (2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程. 10．（2022秋·浙江杭州·高二校考期中）已知圆M与直线相切于点，圆心M在轴上． (1)求圆M的标准方程； (2)若直线与圆M交于P，Q两点，求弦的最短长度； (3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于C，D两点，记，的面积为，，求的最大值． 11．（2022秋·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）已知：关于直线对称，且圆心在y轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点M在直线上，过点M引的两条切线､，切点分别为A，B.证明：直线恒过定点. 12．（2023春·江西·高一校联考期中）已知圆C：，点P是直线上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B. (1)若P的坐标为，求过点P的切线方程； (2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； (3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 13．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆，直线与圆O交于A，B两点． (1)求； (2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点． 14．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知圆与圆相切． (1)求圆的半径； (2)若圆与圆相内切， 设圆与轴的负半轴的交点为， 过点作两条斜率之积为-3的直线， 分别交圆于两点， 求点到直线距离的最大值． 15．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为. (1)求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标； (2)求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）； (3)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 16．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为．经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点． (1)求圆C的方程； (2)求当满足时对应的直线l的方程； (3)若点，直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、直线RS的斜率为，，求证：为定值． 17．（2022秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点． (1)当在直线上时，求的值； (2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 题型二：直线相关的对称问题 一、多选题 1．（2022秋·贵州·高二校联考阶段练习）已知圆：与直线：，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆不一定相交 B．当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1 C．当时，圆关于直线对