重难点02空间中的角度和距离问题（4种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

重难点02空间中的角度和距离问题（4种题型） 【考点剖析】 题型一：向量法求线线、线面、面面角 一、单选题 1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）    A． B．直线与所成角的正弦值为 C．向量与的夹角是 D．平面 2．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正方体中，点，分别是，上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 4．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）．    A． B． C． D． 5．（2023春·四川达州·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，点满足，，．在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，长方体中，，P为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（    ）    A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为 B．当时，若平面的法向量记为，则 C．当时，二面角的余弦值为 D．若，则 二、多选题 7．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B． C．平面与平面的夹角余弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为 8．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）已知图1中，正方形的边长为，、、、是各边的中点，分别沿着、、、把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则（    ）    A．平面平面 B．直线与直线所成的角为 C．直线与平面所成角的正切值为 D．多面体的体积为 9．（2023春·江苏扬州·高二统考期末）如图，设正方体的棱长为为线段的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．当为的中点时，点到平面的距离为 B．当为的中点时，记与平面的交点为，则 C．存在，使得异面直线与所成的角为 D．存在，使得点到直线的距离为 三、填空题 10．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______.    四、解答题 11．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点.    (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 12．（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.    (1)求证：平面； (2)若，求与所成角的余弦值. 13．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为45°，底面为直角梯形，，，．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 14．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 15．（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在正四棱锥中，，过点向平面作垂线，垂足为.    (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值. 16．（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 17．（2023秋·云南大理·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点M为PC的中点.    (1)求证：； (2)点E为BC边上的点，若，求二面角的余弦值. 题型二：向量法求空间距离 一、单选题 1．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（2022·高二课时练习）如图，在棱长为的正方体中，点为棱上的点，且，点为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·江苏连云港·高二统考期