第14讲 圆的方程（5种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

第14讲 圆的方程（5种题型） 【知识梳理】 一．圆的标准方程 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题思路点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【命题方向】 可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化． 二．圆的一般方程 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝． 3．圆的一般方程的特点： （1）x2和y2系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件． 三．二元二次方程表示圆的条件 1、圆的定义： 平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径． 2、圆的标准方程： 圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2． 3、圆的一般方程： 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0． 当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（﹣，﹣），半径为的圆； 当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（﹣，﹣），； 当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形． 因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0． 注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件： ①A＝C≠0； ②B＝0； ③D2+E2﹣4F＞0． 四．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较． ①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内； ②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上； ③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外． 五．关于点、直线对称的圆的方程 （1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可． （2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标． 【考点剖析】 一．圆的标准方程（共16小题） 1．（2022秋•上城区校级期末）若一圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2＝3，则此圆的圆心和半径分别为（　　） A．（﹣1，5）， B．（1，﹣5）， C．（﹣1，5），3 D．（1，﹣5），3 2．（2022秋•南关区校级期末）已知圆C和直线及x轴都相切，且过点（3，0），则该圆的方程是（　　） A． B． C．或 D．或 3．（2022秋•水磨沟区校级期末）已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（　　） A．x2+y2﹣6x﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0 C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝0 4．（2022秋•西城区校级期末）已知O为原点，点A（2，﹣2），以OA为直径的圆的方程为（　　） A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝8 C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝8 5．（2022秋•泉州期末）若圆M的圆心在直线y＝x上，且与两坐标轴都相切，则圆M的标准方程可以为 　 　.（写出满足条件的一个答案即可） 6．（2022秋•大通县期末）已知圆心为（﹣2，3）的圆与直线x﹣y+1＝0相切，则该圆的标准方程是 　 　． 7．（2022秋•阿拉善左旗校级期末）