课时分层作业67 参数方程(Word练习)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(六十七)　参数方程 1．(2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0． (1)当k＝1时，C1是什么曲线？ (2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标． [解]　(1)当k＝1时，C1：消去参数t得x2＋y2＝1，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆． (2)当k＝4时，C1：消去参数t得C1的直角坐标方程为＋＝1． C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0． 由解得 故C1与C2的公共点的直角坐标为． 2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos． (1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； (2)若点P(x，y)在圆C上，求x－y的取值范围． [解]　(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)， ∴消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y－2＝0， ∵圆C的极坐标方程为ρ＝4cos， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4． (2)∵点P(x，y)在圆C上， ∴设P(1＋2cos θ，＋2sin θ)， ∴x－y＝＋2cos θ－－2sin θ＝4sin， ∴x－y的取值范围是[－4,4]． 1．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ． (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足＝ ，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点． [解]　(1)根据ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ， 所以x2＋y2＝2x，所以C的直角坐标方程为(x－)2＋y2＝2． (2)设P(x，y)，M(x′，y′)，则＝(x－1，y)，＝(x′－1，y′)． 因为＝， 所以 即 因为M为C上的动点， 所以＋＝2，即(x－3＋)2＋y2＝4． 所以P的轨迹C1的参数方程为 (其中α为参数，α∈[0,2π))． |CC1|＝3－2，⊙C1的半径r1＝2，又⊙C的半径r＝，所以|CC1|＜r1－r， 所以C与C1没有公共点． 2．(2023·四川德阳模拟预测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为mρsin θ－ρcos θ＋4m＝0． (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若点P(0，－4)，直线l与曲线C的交点为M，N，求|PM|＋|PN|的最小值． [解]　(1)∵曲线C的参数方程为 ∴ ∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y＋6)2＝12，即x2＋y2－4x＋12y＋28＝0． ∵mρsin θ－ρcos θ＋4m＝0，且ρsin θ＝y，ρcos θ＝x， ∴my－x＋4m＝0， 故直线l的直角坐标方程为x－my－4m＝0． (2)直线l的参数方程为(γ为参数)， 将代入(x－2)2＋(y＋6)2＝12，得 t2＋4(sin γ－cos γ)t－4＝0， 设点M，N对应的参数分别为t1，t2，判别式Δ>0恒成立， ∴t1＋t2＝－4(sin γ－cos γ)，t1·t2＝－4＜0， ∴|PM|＋|PN|＝|t1－t2|＝＝≥4， 当且仅当sin 2γ＝1，即γ＝时，等号成立， ∴|PM|＋|PN|的最小值为4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $