课时分层作业66 坐标系(Word练习)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(六十六)　坐标系 1．(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin＋m＝0． (1)写出l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围． [解]　(1)因为直线l的极坐标方程为ρsin＋m＝0，所以ρ·sin θ＋ρcos θ＋m＝0， 又因为ρsin θ＝y，ρcos θ＝x，所以化简为y＋x＋m＝0， 整理得l的直角坐标方程为x＋y＋2m＝0． (2)联立l与C的方程，即将x＝cos 2t，y＝2sin t代入x＋y＋2m＝0中，可得3cos 2t＋2sin t＋2m＝0， 所以3(1－2sin2t)＋2sin t＋2m＝0， 化简为－6sin2t＋2sin t＋3＋2m＝0， 要使l与C有公共点，则2m＝6sin2t－2sin t－3有解， 令sin t＝a，则a∈，令f(a)＝6a2－2a－3(－1≤a≤1)， 对称轴为a＝，开口向上， 所以f(a)max＝f(－1)＝6＋2－3＝5， f(a)min＝f ＝－－3＝－， 所以－≤2m≤5， 即m的取值范围为－≤m≤． 2．在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为，半径为，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C的极坐标方程； (2)设M，N是圆C上两个动点，且满足∠MON＝，求|OM|＋|ON|的最小值． [解]　(1)∵圆C的圆心为，半径为，∴圆C的直角坐标方程为x2＋＝，即x2＋y2－y＝0， ∴圆C的极坐标方程为ρ2＝ρsin θ， 即ρ＝sin θ． (2)设M(ρ1，θ)，N， 则|OM|＋|ON|＝ρ1＋ρ2＝sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin． 由题意知解得0≤θ≤， ∴≤θ＋≤，∴≤sin≤1， 即|OM|＋|ON|的最小值为． 1．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcos＝3． (1)求曲线C1的极坐标方程； (2)已知点M(4,0)，直线l的极坐标方程为θ＝，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积． [解]　(1)由题意知，曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1， 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，化简得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ． (2)设点P，Q的极坐标分别为(ρ1，θ1)，(ρ2，θ2)， 则由可得P的极坐标为， 由 可得Q的极坐标为， ∵θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2， 又点M到直线l的距离为2， ∴S＝×2×2＝2． 2．(2022·四川绵阳一模)如图，在极坐标系中，已知点M(2,0), 曲线C1是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点的圆． (1)分别写出曲线C1，C2的极坐标方程； (2)直线θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R)与曲线C1，C2分别相交于点A，B(异于极点)，求△ABM面积的最大值． [解]　(1)由题意可知，曲线C1是以极点O为圆心，以2为半径的半圆， 结合图形可知，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ≤π)． 设P(ρ，θ)为曲线C2上的任意一点， 可得ρ＝2cos＝2sin θ． 因此，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ(0≤θ≤π)． (2)因为直线θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R)与曲线C1，C2分别相交于点A，B(异于极点)， 设A(ρA，α)，B(ρB，θ)， 由题意得ρB＝2sin α，ρA＝2, 所以|AB|＝|ρA－ρB|＝2－2sin α． 因为点M到直线AB的距离为d＝|OM|sin α＝2sin α， 所以，S△ABM＝|AB|·d＝(2－2sin α)·2sin α＝2sin α(1－sin α)≤2×＝， 当且仅当sin α＝时，等号成立，故△ABM面积的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $