课时分层作业44 立体几何中的综合问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(四十四)　立体几何中的综合问题 1．如图，在四棱锥P­ABCD中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，BC∥AD，∠PAD＝90°，∠PBA为锐角，平面PAB⊥平面PBD． (1)证明：PA⊥平面ABCD； (2)若直线AD与平面PBD所成角的正弦值为，求三棱锥P­ABD的表面积． [解]　(1)证明：作AM⊥PB于点M， 则由平面PAB⊥平面PBD⇒AM⊥平面PBD⇒AM⊥BD． 取AD中点为Q， 则BCQD⇒BQ＝CD＝1＝QD＝QA⇒∠ABD＝90°． 又∠PBA为锐角， ∴点M与点B不重合． ⇒DB⊥平面PAB⇒DB⊥PA． 又PA⊥AD，DB与AD为平面ABCD内两条相交直线， 故PA⊥平面ABCD． (2)由(1)知AM⊥平面PBD， 故∠ADM即为直线AD与平面PBD所成的角，＝⇒AM＝． 在Rt△PAB中，AM＝⇒∠PBA＝45°， 故PA＝1，S△PAB＝，S△PAD＝1，S△ABD＝＝． 而∠PBD＝90°⇒S△PBD＝＝＝， 故所求表面积S＝＋1＋＋＝． 2．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置． (1)证明：AE⊥PB； (2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离． [解]　(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O(图略)， ∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形， ∴AE＝BC＝AD＝DE， ∴△ADE为等边三角形． ∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC， ∴BD⊥AE． 如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE． 又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O， ∴AE⊥平面POB． ∵PB⊂平面POB， ∴AE⊥PB． (2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE． 又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE． ∵OP＝OB＝，∴PB＝． ∵AP＝AB＝1， ∴S△PAB＝××＝． 连接AC，则VP­ABC＝OP·S△ABC＝××＝． 设点C到平面PAB的距离为d， ∵VP­ABC＝VC­PAB＝S△PAB·d， ∴d＝＝＝，即当四棱锥P­ABCE的体积最大时，点C到平面PAB的距离为． 3．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点． (1)求证：AD⊥PB； (2)在棱PC上是否存在一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD？若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由． [解]　(1)证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，所以PG⊥AD． 又AG＝AB，∠BAD＝60°，所以BG＝AB， 所以∠BGA＝90°，即BG⊥AD． 又PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G， 所以AD⊥平面PGB． 又PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB． (2)当F 为PC边的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD，证明如下： 取PC的中点F ，连接DE，EF ，DF ． 在△PBC中，F E∥PB，在菱形ABCD中，DE∥GB，PB∩GB＝B， EF ∩DE＝E，所以平面DEF ∥平面PGB．因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG． 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， 所以PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB， 所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF ⊥平面ABCD． 1．(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F 分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF ＝2F B1． 证明：(1)当AB＝BC时，EF ⊥AC； (2)点C1在平面AEF 内． [证明]　(1)如图，连接BD，B1D1．因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD．又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1．又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D．由于EF ⊂平面BB1D1D，所以EF ⊥AC． (2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1， 连接GD1，F C1，F G． 因为D1E＝DD1，AG＝AA1，DD1AA1，所以ED1AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD1． 因为B1F ＝BB1，A1G＝AA1，BB1AA1，所以四边形B1F GA1是平行四边形，所以F GA1B1，F GC1D1，四边形F GD1C1为平行四边形，故GD1∥F C1． 于是AE∥F C1．所以A，E，F ，C1四点共面，即点C1在平面AEF 内． 2．(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，