课时分层作业30 正弦定理、余弦定理(Word练习)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(三十)　正弦定理、余弦定理 一、选择题 1．(2022·山东泰安市高三三模)在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cos C＝，则tan A＝(　　) A． B． C． D． D　[由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2BC·ACcos C＝32＋22－2×3×2×＝4， 所以AB＝2，因为AB＝BC，所以A＝C，所以cos A＝cos C＝，tan A＝．] 2．在△ABC中，BC＝6，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为(　　) A．6 B．6 C．9 D．4 A　[∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴36＝c2＋b2－bc， ∵sin B＝2sin C，∴b＝2c． 解得：c＝2，b＝4，∴△ABC的面积为S＝bcsin A＝×2×4×＝6．] 3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是(　　) A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形 B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形 C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形 D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 C　[对于A项，∵sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B项，∵sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝， ∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误； 对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形，C正确； 对于D项，由正弦定理，得sin C＝＝，且AB＞AC， ∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°， ∴S△ABC＝AC·ABsin A＝或，D不正确．故选C．] 4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A． B． C． D． A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3， 所以cos B＝＝，故选A．] 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2B＝bcos Acos B，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 B　[由asin2B＝bcos Acos B得 sin Asin2B＝sin Bcos Acos B， 即sin B(cos Acos B－sin Asin B)＝0， 即sin Bcos(A＋B)＝0， ∵sin B≠0，∴cos(A＋B)＝0， 又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，故选B．] 6．(2022·四川成都二模)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若4a2cos2B＋4b2sin2A＝3b2－3c2，则cos A的最小值为(　　) A． B． C． D． C　[由正弦定理得：4sin2Acos2B＋4sin2Bsin2A＝3sin2B－3sin2C， 即4sin2A＝4sin2A＝3sin2B－3sin2C， ∴4a2＝3b2－3c2，则a2＝b2－c2， ∴cos A＝＝＝＝＋≥2＝(当且仅当＝，即b＝c时取等号)， ∴cos A的最小值为． 故选C．] 二、填空题 7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝，则△ABC的外接圆半径为 ． 　[根据余弦定理 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7， 得BC＝， 由正弦定理得△ABC的外接圆半径为×＝．] 8．(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsin A＋acos B＝0，则B＝ ． 　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝．由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1．又B∈(0，π)，∴B＝．] 9．(2023·四川宜宾模拟预测)在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝，AB＝3，AD＝2，若AC＝3，则CD为 ． 1或5　[因为在△ABC中，∠B＝，AB＝3，AC＝3， 由正弦定理可得＝， 所以sin∠ACB＝＝＝， 又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余， 因此cos∠ACD＝sin∠ACB＝， 在△ACD中，AD＝2，AC＝3， 由余弦定理可得 cos∠ACD＝＝＝， 所以CD2－6CD＋5＝0， 解得CD＝1或CD＝5．] 三、解答题 10．(2022·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a＝c，cos C＝． (1)求sin A的值； (2)若b＝11，求△ABC的面积． [解]　(1)∵cos C＝，∴sin