课时分层作业22 利用导数研究不等式恒(能)成立问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(二十二)　利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1．设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3． (1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M． 由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x． 令g′(x)＞0得x＜0或x＞， 令g′(x)＜0得0＜x＜， 又x∈[0,2]， 所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以g(x)min＝g＝－， 又g(0)＝－3，g(2)＝1， 所以g(x)max＝g(2)＝1． 故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M， 则满足条件的最大整数M＝4． (2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max， 由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1． 在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立． 设h(x)＝x－x2ln x，h′(x)＝1－2xln x－x， 令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞． 即m(x)＝xln x在上是增函数， 可知h′(x)在区间上是减函数， 又h′(1)＝0，所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0； 当＜x＜1时，h′(x)＞0． 即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1， 所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)． 2．(2023·烟台模拟)已知函数f(x)＝px2－(4p＋1)x＋2ln x，其中p∈R． (1)当p＞0时，试求函数f(x)的单调递增区间； (2)若不等式f(x)≤px2－(4p＋1)x－2q(x－1)·ex在x∈(1，＋∞)时恒成立，求实数q的取值范围． [解]　(1)f′(x)＝2px－(4p＋1)＋ ＝(x＞0，p＞0)， 当＜2，即p＞时，由f′(x)＞0，解得x＞2或0＜x＜； 当＝2，即p＝时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立； 当＞2，即0＜p＜时，由f′(x)＞0，解得x＞或0＜x＜2． 综上，当p＞时，f(x)的单调递增区间为，(2，＋∞)； 当p＝时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 当0＜p＜时，f(x)的单调递增区间为(0,2)，． (2)由f(x)≤px2－(4p＋1)x－2q(x－1)ex， 化简得：ln x＋q(x－1)ex≤0在(1，＋∞)时恒成立， 记g(x)＝ln x＋q(x－1)ex， 当q≥0时，g(x)在x∈(1，＋∞)为增函数，g(1)＝0，所以g(x)＞0，不合题意； 当q＜0时，g′(x)＝＋qxex在x∈(1，＋∞)为减函数，g′(1) ＝1＋qe， 若g′(1)＝1＋qe≤0，即q≤－时，g′(x)＜g′(1)， 所以g′(x)＜0， 所以g(x)在x∈(1，＋∞)为减函数，所以g(x)＜g(1)＝0，所以q≤－符合题意． 若g′(1)＝1＋qe＞0， 即q＞－时， g′(x)＝＋qxex在x∈(1，＋∞)为减函数，∃x0∈(1，＋∞)使得x∈(1，x0)时，g′(x)＞0，即g(x)在x∈(1，x0)时为增函数，所以g(x)＞g(1)＝0与g(x)≤0矛盾，所以q＞－不合题意． 综上，q的取值范围为． 3．(2022·四川绵阳一模)已知函数f＝xex－bxln x－x2，其图象在点处的切线斜率为2e－3． (1)证明：当x>1时，f>xex－x2＋1； (2)若函数g＝f＋x－1在定义域上无极值，求正整数a的最大值． [解]　(1)由f＝xex－bxln x－x2可得， f′＝(x＋1)ex－b(ln x＋1)－x． 因为函数f的图象在点处的切线的斜率为2e－3， 所以f′＝2e－b－1＝2e－3，解得b＝2． 当x>1时，f>xex－x2＋1等价于x2－2xln x－1>0，即x－2ln x－>0． 令F＝x－2ln x－，则F′＝1－＋＝>0， 所以函数F在区间上单调递增， 所以F>F＝1－2ln 1－＝0， 所以当x>1时，f>xex－x2＋1． (2)由题意得g＝xex－2xln x－x2＋x－1， 若g＝f＋x－1无极值，则g′≥0恒成立或g′≤0恒成立． (i)当g′≥0恒成立时，g′(x)＝(x＋1)ex－2(1＋ln x)－x＋4－a≥0， 即a－2≤(x＋1)ex－2ln x－x恒成立，所以a－2≤min， 令h＝(x＋1)ex－2ln x－x．