课时分层作业77 不等式的证明(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(七十七)　不等式的证明 1．已知a＞0，b＞0，c＞0． (1)求证：a4－a2b2＋b4≥； (2)若abc＝1，求证：a3＋b3＋c3≥ab＋bc＋ac． [证明]　(1)要证a4－a2b2＋b4≥， 即证(a2＋b2)(a4－a2b2＋b4)≥ab(a4＋b4)， 即证a6＋b6≥a5b＋ab5， 即证a6＋b6－a5b－ab5≥0， 即证a5(a－b)－(a－b)b5≥0， 即证(a5－b5)(a－b)≥0， 该式显然成立，当且仅当a＝b时等号成立， 故a4－a2b2＋b4≥． (2)由算术－几何平均不等式得a3＋b3＋c3≥3abc， a3＋b3＋1≥3ab，b3＋c3＋1≥3bc，a3＋c3＋1≥3ac， 将上面四式相加，可得3a3＋3b3＋3c3＋3≥3abc＋3ab＋3bc＋3ac，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立． 即a3＋b3＋c3≥ab＋bc＋ac． 2．已知a，b为正实数． (1)求证：＋≥a＋b； (2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0<x<1)的最小值． [解]　(1)证明：因为＋－(a＋b)＝ ＝＝． 又因为a>0，b>0，所以≥0， 当且仅当a＝b时等号成立． 所以＋≥a＋b． (2)因为0<x<1， 所以1－x>0， 由(1)的结论，y＝＋≥(1－x)＋x＝1． 当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立． 所以函数y＝＋(0<x<1)的最小值为1． 1．(2022·四川雅安二模)已知函数f (x)＝|2－x|＋2|x＋1|． (1)若存在x0∈R，使得f (x0)≤4－a2，求实数a的取值范围； (2)令f (x)的最小值为M．若正实数a，b，c满足＋＋＝M，求证：a＋b＋c≥12． [解]　(1)f (x)＝|2－x|＋2|x＋1|＝ 所以f (x)在(－∞，－1]上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增， 所以f (x)min＝f (－1)＝3， 4－a2≥3，解得－1≤a≤1． 所以实数a的取值范围是[－1，1]． (2)由(1)得＋＋＝3，a，b，c∈(0，＋∞)， 所以a＋b＋c＝(a＋b＋c) ≥×＝12， 当且仅当a＝2，b＝4，c＝6时等号成立． 2．设f (x)＝|2x－a|，a∈R． (1)当a＝3时，解不等式1<f (x)<3； (2)若对任意实数x，使不等式f (x)＋|x＋1|≥3恒成立的最小正数a，有m＋2n＋3r≥a，证明：m2＋(n＋1)2＋(r－1)2≥． [解]　(1)当a＝3时，由 1<f (x)<3可得： 1<|2x－3|<3⇒－3<2x－3<－1或1<2x－3<3⇒0<x<1或2<x<3． 所以不等式的解集为(0，1)∪(2，3)． (2)证明：对于任意实数x及正数a，f (x)＋|x＋1|＝|2x－a|＋|x＋1|＝＋＋|x＋1|≥＋|x＋1|≥＝＝1＋，当且仅当x＝时取等号， 所以只要1＋≥3⇒a≥4，所以a的最小值为4， 所以m＋2n＋3r≥4⇒m＋2(n＋1)＋3(r－1)≥3， 由柯西不等式得： [m＋2(n＋1)＋3(r－1)]2≤(12＋22＋32)[m2＋(n＋1)2＋(r－1)2] ⇒m2＋(n＋1)2＋(r－1)2 ≥[m＋2(n＋1)＋3(r－1)]2≥， 当且仅当m＝＝时取等号，故m2＋(n＋1)2＋(r－1)2≥． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $