课时分层作业73 直接证明与间接证明、数学归纳法(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(七十三)　直接证明与间接证明、数学归纳法 一、选择题 1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　) A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° B　[至少有一个包含“一个、两个和三个”，故其对立面为三个内角都大于60°，故选B．] 2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　) A．x2>1 B．x2>4 C．x2>0 D．x2>1 C　[因为x>0，所以要证<1＋， 只需证()2<， 即证0<，即证x2>0， 因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．] 3．用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 C　[当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，增加了＋＋…＋，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选C．] 4．设f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f (x1)＋f (x2)的值(　　) A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 A　[由f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)单调递减，可知f (x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f (x1)＜f (－x2)＝－f (x2)，则f (x1)＋f (x2)＜0，故选A．] 5．设f (x)是定义在正整数集上的函数，且f (x)满足：“当f (k)≥k2成立时，总可推出f (k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　) A．若f (1)<1成立，则f (10)<100成立 B．若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立 C．若f (3)≥9成立，则当k≥1时，均有f (k)≥k2成立 D．若f (4)≥16成立，则当k≥4时，均有f (k)≥k2成立 D　[由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以A错误；若f (1)≥1成立，则得到f (2)≥4，与f (2)<4矛盾，所以B错误；当f (3)≥9成立，无法推导出f (1)，f (2)，所以C错误；若f (4)≥16成立，则当k≥4时，均有f (k)≥k2成立，所以D正确．] 二、填空题 6．＋与2＋的大小关系为________． ＋>2＋　[要比较＋与2＋的大小，只需比较(＋)2与(2＋)2的大小， 只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小， 只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小， ∵42>40，∴＋>2＋．] 7．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 　[不等式的左边增加的式子是＋－＝．] 8．若二次函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f (c)>0，则实数p的取值范围是________． 　[若二次函数f (x)≤0在区间[－1，1]内恒成立， 则 解得p≤－3或p≥， 故满足题干要求的p的取值范围为．] 三、解答题 9．证明：若a，b是正实数，a＋b＝1，则＋≤2． [证明]　法一：(分析法) ＋≤2 ⇔a＋b＋1＋2≤4 ⇔≤1 ⇔ab＋＋≤1 ⇔ab≤， 由于ab≤＝成立，所以命题成立． 法二：(综合法) 由于 ≤＝1， 所以＋≤2． 10．(2022·四川树德中学高二阶段练习)已知二次函数f (x)＝x2＋px＋q，证明： (1)f (1)－2f (2)＋f (3)＝2； (2)|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于． [证明]　(1)因为f (x)＝x2＋px＋q， 所以f (1)－2f (2)＋f (3)＝(1＋p＋q)－2(4＋2p＋q)＋(9＋3p＋q)＝2． (2)假设|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于， 则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2；　① 由绝对值不等式的性质和(1)， 得|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)－2f (2)＋f (3)|＝2．　② 所以①②两式的结果矛盾，所以假设不成立， 故|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于． 1．设x，y，z＞0，则三个数＋，＋，＋(　　) A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 C　[因为＋＋＝＋＋≥6， 当且仅当x＝y＝z时等号成立． 所以三个数中至少有一个不小于2，故选C．] 2．