课时分层作业47 立体几何中的最值、翻折、探索性问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(四十七)　立体几何中的最值、翻折、探索性问题 1．(2018·全国Ⅲ卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)当三棱锥M­ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． [解]　(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD． 因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM． 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM． 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC． 而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． (2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz． 当三棱锥M­ABC体积最大时，M为的中点．由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)， ＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，0)． 设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量， 则即可取n＝(1，0，2)． 是平面MCD的法向量， 因此cos〈n，〉＝＝，sin〈n，〉＝． 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是． 2．如图①，已知三棱锥P­ABC，其展开图如图②所示，其中四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P­ABC中： 图①　　　　　　　　图② (1)证明：平面PAC⊥平面ABC； (2)若M是PA的中点，求二面角P­BC­M的余弦值． [解]　(1)证明：如图，设AC的中点为O，连接BO，PO． 由题意，得PA＝PB＝PC＝，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1． 因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC， 因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB． 因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC， 所以PO⊥平面ABC，因为PO⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC． (2)由(1)可知PO⊥OB，PO⊥AC，OB⊥AC，以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，1，0)，A(－1，0，0)，P(0，0，1)，M， 所以＝(1，－1，0)，＝(1，0，－1)，＝． 设平面MBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 由得令x1＝1，得y1＝1，z1＝3，即m＝(1，1，3)为平面MBC的一个法向量． 设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 由得令x2＝1，得y2＝1，z2＝1，即n＝(1，1，1)为平面PBC的一个法向量． cos〈n，m〉＝＝＝． 由图可知，二面角P­BC­M为锐角，故其余弦值为． 3．(2023·四川内江模拟预测)四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，PA＝PD＝，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上． (1)若Q是PC的中点，求二面角E­DQ­C的余弦值； (2)是否存在Q，使PA∥平面DEQ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． [解]　(1)取AD中点O，连接OP，OB，BD． 因为PA＝PD，所以PO⊥AD． 因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD， 所以PO⊥底面ABCD．可知，BO⊥AD，PO⊥AD， 以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系． 则D(－1，0，0)，E(－1，，0)，P(0，0，1)，C(－2，，0)，A(1，0，0)． 因为Q为PC中点，所以Q． 所以＝(0，，0)，＝， 所以平面DEQ的法向量可以为n1＝(1，0，0)． 因为＝(－1，，0)， 设平面DQC的法向量为n2＝(x，y，z)， 则，即 令x＝，则y＝1，z＝－，即n2＝(，1，－)． 所以cos〈n1，n2〉＝＝． 由图可知，二面角E­DQ­C为锐角，所以余弦值为． (2)设＝λ(0≤λ≤1)， 由(1)可知＝(－2，，－1)，＝(1，0，－1)． 设Q(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)， 又因为＝λ＝(－2λ，λ，－λ)， 所以，即Q(－2λ，λ，－λ＋1)． 所以在平面DEQ中，＝(0，，0)，＝(1－2λ，λ，1－λ)， 所以平面DEQ的法向量为n1＝(1－λ，0，2λ－1)， 又因为PA∥平面DEQ，所以·n1＝0， 即(1－λ)＋(－1)(2λ－1)＝0，解得λ＝． 所以当λ＝时，即＝，PA∥平面DEQ． 1．(2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②． 图①