课时分层作业46 立体几何中的向量方法(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(四十六)　立体几何中的向量方法 一、选择题 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．150° B．60° C．30° D．60°或30° B　[设直线l与平面α所成的角为β，直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为γ，则sin β＝|cos γ|＝|cos 150°|＝． 又0°≤β≤90°，∴β＝60°．] 2．如图，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝，则直线AD与BC所成的角为(　　) A． B． C． D． B　[如图，过点O作OE⊥AB交底面圆于E，分别以OE，OB，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为∠AOD＝π，所以∠BOD＝，则D(，1，0)，A(0，－2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，＝(，3，0)，＝(0，－2，2)，所以cos〈，〉＝＝－，则直线AD与BC所成的角为，故选B．] 3．(2023·陕西西安高三月考)如图所示，正方体ABCD­ A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，A1E＝A1D，AF＝AC，则EF与C1D1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　[以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则E(1，0，1)，F(2，1，0)，＝(1，1，－1)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，＝(0，－3，0)， 设EF与C1D1所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝．] 4．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2．以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M．则CD与平面ACM所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． D　[如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2)． 所以＝(2，4，0)，＝(0，2，2)，＝(－2，0，0)． 设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥， 可得令z＝1，得n＝(2，－1，1)． 设所求角为α，则sin α＝＝．] 5．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是(　　) A． B． C． D． D　[如图建立坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)， ＝(2，0，0)，＝(2，2，0)， ＝(2，0，2)． 设平面A1BD的法向量为 n＝(x，y，z)，则 ∴ 令z＝1，得n＝(－1，1，1)． ∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝．] 6．(2023·四川成都模拟预测)如图，已知E、F分别为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB、BC的中点，平面DEC1交棱BB1于点G，则下列结论中正确的是(　　) A．平面AB1D1∥平面DEC1 B．截面DEGC1是直角梯形 C．直线A1F与直线C1E异面 D．直线A1F⊥平面DEC1 D　[分别延长DE，CB交于点H，连接C1H交B1B于点G，连接EG． ∵E，F分别为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，BC的中点，DC1∥EG，∴G是BB1的中点， 以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设AB＝2，则A(2，0，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，D(0，0，0)，E(2，1，0)，C1(0，2，2)， 则＝(0，2，2)，＝(－2，0，2)，＝(2，1，0)，＝(0，2，2)， 设平面AB1D1的法向量n＝(x，y，z)， 则，令x＝1，则y＝－1，z＝1，即n＝(1，－1，1)， 设平面DEC1的法向量m＝(a，b，c)， 则，令a＝1，则c＝2，b＝－2，即m＝(1，－2，2)， ∵m，n间没有倍数关系，∴平面AB1D1和平面DEC1不平行，故A错误； ∵DC1∥EG，且DE与C1G相交，∴截面DEGC1是梯形， 又∵·＝2，∴DE与DC1不垂直， ∴截面DEGC1是梯形但不是直角梯形，故B错误； ∵E、F分别为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB、BC的中点， ∴EF∥A1C1，∴A1，E，F，C1四点共面， ∴直线A1F与直线C1E共面，故C错误； 由A1(2，0，2)，F(1，2，0)，可知＝(－1，2，－2)， 则·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋4－4＝0， ∴A1F⊥DE，A1F⊥DC1，DE∩DC1＝D， ∴直线A1F⊥平面DEC1，故D正确． 故选D．] 二、填空题 7．平面α的法向量m＝(1，0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1，1)，则平面α与平面β所成的二面角中较小角的余弦值为________．