课时分层作业45 空间向量的运算及应用(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(四十五)　空间向量的运算及应用 一、选择题 1．(2023·陕西西安高三期末)向量a＝(2，4，5)，向量b＝(1，2，t)，若a⊥b，则实数t＝(　　) A．　　B．1　　C．－2　　D．－ C　[因为向量a＝(2，4，5)，向量b＝(1，2，t)，若a⊥b， 则a·b＝2×1＋4×2＋5t＝0，解得t＝－2，故选C．] 2．(2023·四川树德中学高三期末)已知空间三点A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)，若向量与的夹角为60°，则实数m＝(　　) A．1　　B．2　　C．－1　　D．－2 B　[∵A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)， ∴＝(－2－m，－m，8－m)，＝(4－m，－4－m，6－m)， 由题意有cos 60°＝ ＝， 即＝3m2－12m＋40，整理得m2－4m＋4＝0，解得m＝2．] 3．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知＝a，＝b，＝c，则用向量a，b，c可表示向量为(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．－a＋b＋c D　[在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c．] 4．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　) A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 B　[由6＝＋2＋3， 得－＝2(－)＋3(－)， 即＝2＋3， 故，，共面，又它们有公共点P， 因此，P，A，B，C四点共面，故选B．] 5．(2023·重庆南开中学高三期末)如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，其中AD＝2AB，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD＝(　　) A．1∶1　　B．1∶2　　C．1∶5　　D．1∶7 D　[以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设AB＝1，则AD＝2，设AP＝a， 所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，2，0)， E，P(0，0，a)， 设F(0，y，0)，则＝，＝(－1，y，0)， 因为BF⊥PE，所以·＝0，所以－＋2y＝0，解得y＝， 所以F，所以AF＝，则FD＝2－＝，所以AF∶FD＝∶＝1∶7，故选D．] 6．已知正四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面A1B1C1D1的边界上一点．若·的最小值为，则该正四棱台的体积为(　　) A．　　B．　　C．　　D． A　[由题意可知，设上、下底面的中心分别为O1，O，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，－，0)，C(0，，0)，由对称性可知，点P在A1B1，B1C1，A1D1，C1D1是相同的， 故只考虑P在B1C1上时，设正四棱台的高为h，则 B1，C1，设P(x，y，z)，＝， ＝，因为P在B1C1上，所以＝λ(0≤λ≤1)，则 P， ＝ ＝， ＝＝， 所以·＝λ2＋＋h2 ＝λ2＋λ2＋λ－λ－＋h2 ＝λ2－λ－＋h2＝－＋h2， 由二次函数的性质知，当λ＝时，·取得最小值，为h2－， 又因为·的最小值为，所以h2－＝，解得h＝±(负舍)， 故正四棱台的体积为 V＝(S1＋\r(,S1S2)＋S2) h＝(2×2＋＋1×1)×＝． 故选A．] 二、填空题 7．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点D满足 ＝(＋)，则||＝________． 2　[因为三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，且△ABC为等边三角形， 如图，建立以A为原点，AC所在的直线为y轴，过点A垂直于AC的直线为x轴，AA1所在的直线为z轴的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(，1，0)，A1(0，0，2)，C(0，2，0)，＝(，1，0)，＝(0，0，2)， 所以＝＝(，1，2)＝，即D，所以||＝＝2．] 8．已知a＝(4，－2，6)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________． 　[因为a，b，c三向量共面，所以存在m，n∈R，使得c＝ma＋nb， 则c＝(7，5，λ)＝(4m－n，－2m＋4n，6m－2n)，即解得] 9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的是________． ①②③　[∵·＝0，·＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确． 又与不平行， ∴是平面ABCD的法向量，则③正确． ∵＝－