课时分层作业44 直线、平面垂直的判定及其性质(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(四十四)　直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　　) A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 C　[因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α．又m⊥α，所以m∥n．] 2．(2023·白银市第十中学高三期末)设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件一定能得到m⊥β的是(　　) A．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ B．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l C．n⊥α，n⊥β，m⊥α D．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α C　[在A中，因为α∩γ＝m，所以m⊂α，m⊂γ， 而β⊥γ，m并不垂直于β内的所有直线， 所以β和m可能不垂直，故A错误； 在B中，m只垂直于β内的一条直线， 所以不能推出m⊥β，故B错误； 在C中，因为n⊥α，n⊥β，所以α∥β， 又m⊥α，所以m⊥β，故C正确； 在D中，由α⊥γ，β⊥γ，不能推出α∥β， 所以由m⊥α不能推出m⊥β，故D错误．] 3．(2022·四川绵阳三模)已知α，β是两个不同的平面，m是一条直线，若α∥β，则“m⊥α”是“m⊥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[由α∥β，若m⊥α，则m⊥β，同理m⊥β，也有m⊥α． 所以“m⊥α”是“m⊥β”的充要条件． 故选C．] 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C　[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直， ∴选项B，D错误； ∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故选项C正确； (证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面CEA1B1．又A1E⊂平面CEA1B1， ∴A1E⊥BC1．) ∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误． 故选C．] 5．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° D　[如图所示， 不妨设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为∠DB1A，所以sin 30°＝＝，即b＝c，B1D＝2c＝，解得a＝c． 对于A，AB＝a，AD＝b，AB＝AD，A错误； 对于B，过点B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，因为tan∠BAE＝＝，所以∠BAE≠30°，B错误； 对于C，AC＝＝c，CB1＝＝c，AC≠CB1，C错误； 对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C，sin∠DB1C＝＝＝，而0°<∠DB1C<90°，所以∠DB1C＝45°．D正确． 故选D．] 6．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列结论正确的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC D　[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD． 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD， 故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB． 又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC． 又AB⊂平面ABC， ∴平面ADC⊥平面ABC．] 二、填空题 7．已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件________时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)． 四边形ABCD是菱形(答案不唯一)　[四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD， ∴BD⊥PA，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC， 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD． 故答案为四边形ABCD是菱形．] 8．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①⇒α∥β；②⇒α∥β；③⇒a∥b；④⇒a∥b中，正确的命题是________(只填序号)． ②④　[①：与同一条直