课时分层作业42 空间点、直线、平面之间的位置关系(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(四十二)　空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c C　[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C．] 2．(2023·四川棠湖中学阶段练习)给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有(　　) A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 B　[对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．] 3．正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) A　　　　　B　　　　C　　　　　D D　[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．] 4．空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　[在空间四点中，①当四点不共面时，其中任意三点必不共线，∴必要性成立．②当任意三点不共线时，不能得出四点不共面，如平行四边形的四个顶点，∴充分性不成立，∴“无任何三点共线”是“四点不共面”的必要不充分条件．] 5．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为(　　) A．　　B．　　C．　　D． B　[不妨设正方体的棱长为1，取A1D1的中点G，连接AG，易知GA∥C1E，则∠FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角．连接FG(图略)，在△AFG中，AG＝＝，AF＝＝，FG＝1，于是cos∠FAG＝＝，故选B．] 6．(2023·成都教科院附中月考)已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论： ①若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线； ②线段MN的长度为； ③异面直线MN和CD所成的角为； ④FM＋FN的最小值为2． 其中正确的结论为(　　) A．①④　　B．①③④　　C．②③　　D．②③④ D　[对于①，取AB的中点为F，CD的中点为E，连接FM，ME，EN，NF， 则FM∥BD，FM＝BD，NE∥BD，NE＝BD， 所以FM∥NE，FM＝NE，故四边形FNEM为平行四边形， 则MN与EF交于点G，故此时直线FG与直线CD相交于E， 因此此时直线FG与直线CD不是异面直线，故①错误； 对于②，连接AN，DN， 四面体ABCD的所有棱长均为2， 故AN＝DN＝，因为M为AD的中点，故MN⊥AD， 所以MN＝＝，故②正确； 对于③，取BD的中点为H，连接HN，HM，因为M，N分别为棱AD，BC的中点， 故MH＝AB＝1，HN＝CD＝1，NH∥CD， 则∠HNM即为异面直线MN和CD所成的角或其补角， 因为MH2＋NH2＝2＝MN2，故△MHN为等腰直角三角形， 则∠HNM＝，故③正确； 对于④，将平面ABD，平面ABC展开为一个平面，如图所示， 当M，F，N三点共线时，FM＋FN最小，因为M，N分别为棱AD，BC的中点， 所以此时四边形AMNC为平行四边形，故MN＝AC＝2， 即FM＋FN的最小值为 2，故④正确．故选D．] 二、填空题 7．已知AE是长方体ABCD­EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有________条． 4　[如图，作出长方体ABCD­EFGH． 在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD．共4条．] 8．(2023·四川绵阳高三期中)已知正三棱锥A­BCD中，BC＝AB，E是CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为________． 　[如图所示： 取AC中点F，连接BF，EF，则EF∥AD， 所以∠BEF(或补角)即为异面直线BE与AD所成角，因为BC＝AB，所以三棱锥侧棱两两垂直，所以EF⊥平面ABC， 则EF⊥BF，设AB＝2，则B