课时分层作业41 空间几何体的结构及其表面积、体积(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(四十一)　空间几何体的结构及其表面积、体积 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 B．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形 C．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体 D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 [答案]　D 2．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为V1，表面积为S1，球的体积为V2，表面积为S2，则下列说法正确的是(　　) A．S1∶S2＝2∶1，V1∶V2＝4∶3 B．S1∶S2＝3∶2，V1∶V2＝3∶2 C．S1∶S2＝4∶3，V1∶V2＝2∶1 D．S1∶S2＝3∶2，V1∶V2＝4∶3 B　[由已知条件，设球的半径为r， 可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r， 则圆柱的表面积S1＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2， 体积V1＝2r·πr2＝2πr3， 球表面积S2＝4πr2， 体积V2＝πr3， 所以S1∶S2＝3∶2，V1∶V2＝3∶2．故选B．] 3．已知某香水的包装瓶如图①所示，其三视图如图②所示，其中图②中小正方形方格的边长为1，则该香水瓶的体积为(　　) 图①　　　　　　　图② A．π＋120 B．2π＋120 C．π＋110 D．2π＋110 D　[由三视图可得包装瓶的直观图是由一个底面为八边形的直棱柱和一个圆柱组成的组合体，故其体积为：5×(24－2)＋π×12×2＝110＋2π，故选D．] 4．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，已知AC1⊥平面α，则关于α截此正方体所得截面有以下4个判断： ①截面形状可能为正三角形； ②截面形状可能为正方形； ③截面形状可能为正六边形； ④截面面积最大值为3． 其中判断正确的是(　　) A．①③ 　　B．①②③　　C．①②④　　D．①③④ D　[如图，显然①③成立，下面说明④成立，如图截得正六边形时，面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝，所以S＝2××(＋2)×＝3，故④成立，故选D．] 5．(2022·北京高考)已知正三棱锥P­ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为(　　) A．　　B．π　　C．2π　　D．3π B　[如图，过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，则由题意知，CO＝2，PC＝6，所以PO＝2，当CO上存在一点Q使得PQ＝5，此时QO＝1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆上及圆内，所以T表示的区域的面积为π． ] 二、填空题 6．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________． 2＋　[如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E． 图①　　　　　　　图② 在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝． 而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1．由此可还原原图形如图②．在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)×A′B′＝××2＝2＋．] 7．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________cm2 (结果中保留π)． 1 100π　[如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA． 又C＝2π×10＝20π， 所以SA＝20(cm)． 同理SB＝40(cm)． 所以AB＝SB－SA＝20(cm)． S表＝S侧＋S上底＋S下底 ＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm2)． 故圆台的表面积为1 100π cm2．] 8．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________．设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为________． 　6　[该圆锥的高h＝＝2． 所以该圆锥的体积V＝×π×12×2＝π． 将圆锥侧面沿母线SA展开，如图所示． 因为圆锥底面周长为2π，所以侧面展开后得到的扇形的圆心角∠ASA′＝． 由题意知点B是侧面展开后得到的扇形中弧AA′的中点， 连接AB，A′B，SB，则∠ASB＝，可得AB＝A′B＝AS＝3． 所以该质点运动路径的最短长度为AB＋A′B