课时分层作业35 平面向量的数量积与平面向量应用举例(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(三十五)　平面向量的数量积与平面向量应用举例 一、选择题 1．(2022·辽宁朝阳市高三一模)已知向量a＝(x，1)，b＝(－1，1)，若a＋b＝(0，2)，则(　　) A．a∥b B．a⊥b C．a－b＝(－2，0) D．＝ B　[∵向量a＝(x，1)，b＝(－1，1)，且a＋b＝(x－1，2)＝(0，2)， ∴x－1＝0，∴x＝1，∴向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)， ∴a和b不平行，故A错误； ∵a·b＝0，∴a⊥b，故B正确；∵a－b＝(2，0)，故C错误；＝2，故D错误．] 2．已知向量a，b满足a＝(4，0)，b＝(x，)，且|a|＝a·b，则a，b的夹角大小为(　　) A． B． C． D． C　[由题意，向量a，b满足a＝(4，0)，b＝(x，)， 因为|a|＝a·b，可得4x＝4，解得x＝1， 设a，b的夹角大小为θ，所以cos θ＝＝＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝．] 3．(2023·湖北武汉高三模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则·＝(　　) A．3 B．2 C． D． B　[以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系， 则A(0，0)，E(1，1)，F，∴＝，＝(1，1)， ∴·＝＋＝2．] 4．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于(　　) A． B．6 C．12 D．18 D　[如图，过点O作OD⊥AB于D， 可知AD＝AB＝3， 则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18．] 5．若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 A　[∵(－)·(＋－2)＝0， ∴·[(－)＋(－)]＝·(＋)＝0． 设D为边BC的中点，则＋＝2，即·＝0． 由此可得在△ABC中，BC与BC边上的中线垂直， ∴△ABC为等腰三角形．故选A．] 6．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　) A． B． C． D． A　[法一：由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b．将|a－b|＝2|b|两边平方，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为，故选A． 法二：∵|a＋b|＝|a－b|， ∴a⊥b． 在四边形ABCO中，设||＝|b|＝1，|a＋b|＝2|b|＝2， ∴|a|＝， ∴〈a＋b，a〉＝∠BOA，∴在Rt△OBA中，∠BOA＝．] 二、填空题 7．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 11　[设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝， 又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11．] 8．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________． 　[法一：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b， ∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝． 法二：由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝．] 9．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则·(＋)＝________． 10　[取BC的中点D(图略)，易知＋＝2，且AD⊥BC． ∴·(＋)＝2·＝22．又AB＝AC＝3，BC＝4，∴AD＝＝．故·(＋)＝22＝10．] 三、解答题 10．已知向量a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)，0＜θ＜π． (1)若向量a∥b，求θ的值； (2)若向量a·b＝，求． [解]　(1)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)， ∴当a∥b时，1×cos θ＝(－1)×sin θ， 即cos θ＝－sin θ． ∵θ∈(0，π)，∴θ＝ ． (2)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)， ∴当a·b＝时，1×sin θ＋(－1)×cos θ＝， 可得sin θ－cos θ＝⇒(sin θ－cos θ)2＝⇒ 1－2sin θcos θ＝， ∴sin θcos θ＝． ∴＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)× ＝sin θcos θ＝． 11．已知向量m＝(cos x，sin x)，n