课时分层作业32 正弦定理、余弦定理的综合应用(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(三十二)　正弦定理、余弦定理的综合应用 一、选择题 1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10° B　[如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°． 利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B．] 2．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　) A． m B． m C． m D． m A　[如图，由已知可得∠BAC＝30°， ∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°， ∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°， 又AB＝200 m，∴AC＝ m． 在△ACD中，由正弦定理，得＝， 即DC＝＝(m)．] 3．(2023·娄底市春元中学高三月考)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？(　　) A．20，8 B．24，10 C．10.5，24.5 D．24.5，10.5 D　[由题意，得到示意图如图所示，甲、乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为t秒，每步走a米，则AC＝3ta，AB＝10a，BC＝(7t－10)a， 在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，即(3ta)2＋(10a)2＝[(7t－10)a]2， 解得：t＝，故甲走了7t＝＝24.5步，乙走了3t＝＝10.5步．] 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为(　　) A． B． C． D．－ C　[因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C．] 5．(2023·四川绵阳中学模拟预测)如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”“起”“向”“未”“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台(B点为看台底部)，由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为P1Q1，P2Q2，…，P5Q5，且BQ1＝16米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则BQ5＝(　　) A．40.5米 B．54米 C．81米 D．121.5米 C　[依题意＝，Q1Q2＝8， ＝，Q2Q3＝12， ＝，Q3Q4＝18， ＝，Q4Q5＝27， 所以BQ5＝16＋8＋12＋18＋27＝81米．] 6．已知△ABC中，BC边上的中线AD＝3，BC＝4，∠BAC＝60°，则△ABC的周长为(　　) A．＋4 B．4＋4 C．5＋4 D．2＋4 A　[根据余弦定理：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝13－12cos∠ADB， AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC ＝13－12cos∠ADC，∴AB2＋AC2＝26， 又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝26－AB·AC＝16，∴AB·AC＝10， ∴(AB＋AC)2＝AB2＋AC2＋2AB·AC＝26＋20＝46， 所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝＋4，故选A．] 二、填空题 7．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里． 10　[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，AC＝10，∠CAB＝60°，得AB＝5， 于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．] 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________． 12　[由正弦定理＝， 可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A． 又在△ABC中，sin B＞0， ∴sin A＝cos A，即tan A＝． ∵0＜A＜π，∴A＝．由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，