课时分层作业28 简单的三角恒等变换(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(二十八)　简单的三角恒等变换 一、选择题 1．tan 15°－＝(　　) A．－ B．2 C．－2 D．4 C　[tan 15°－＝－＝＝＝－2，故选C．] 2．(2022·河南南阳高三三模)已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，若sin(B＋α)＝＋sin α，则sin(α＋300°)＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　[∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，由sin(60°＋α)＝＋sin α得，cos α－sin α＝，∴cos(30°＋α)＝，则sin(α＋300°)＝sin(270°＋30°＋α)＝－cos(30°＋α)＝－，故选D．] 3．在上，满足方程sin＝cos的x值为(　　) A． B．± C． D．± C　[由sin＝cos得cos 2x＝sin x， 即2sin2x＋sin x－1＝0， 解得sin x＝或sin x＝－1． 由于x∈， ∴sin x＝， ∴x＝，故选C．] 4．已知cos α＋cos＝1，则cos＝(　　) A． B． C． D． D　[∵cos α＋cos＝1， ∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α＝＝cos＝1， ∴cos＝．] 5．已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，则β等于(　　) A． B． C． D． A　[∵α，β均为锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－， ∴cos α＝＝，sin(α＋β)＝＝， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin αsin(α＋β) ＝－×＋×＝，因为β为锐角，所以β＝．] 6．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　) A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β) A　[因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin 2α＝2sin 2β， 所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)·sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)， 得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A．] 二、填空题 7．化简：＝________． 4sin α　[＝ ＝＝4sin α．] 8．若2sin x＋2cos x＝1，则sin·cos＝________． 　[由题意可得4sin＝1，令x＋＝t，则sin t＝，x＝t－， 所以原式＝sin(π－t)cos 2t＝sin t(1－2sin2t)＝．] 9．(2022·浙江高考)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________． 　　[∵α＋β＝，∴sin β＝cos α，即3sin α－cos α＝， 即＝，令sin θ＝，cos θ＝， 则sin＝，∴α－θ＝＋2kπ，k∈Z，即α＝θ＋＋2kπ，k∈Z ∴sin α＝sin＝cos θ＝， 则cos 2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝．] 三、解答题 10．已知0<α<，0<β<，sin α＝，cos(α＋β)＝． (1)求cos β的值； (2)求的值． [解]　(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝＝， 又因为0<β<，cos(α＋β)＝，所以sin(α＋β)＝＝， 所以cos β＝cos[(β＋α)－α] ＝cos(β＋α)cos α＋sin(β＋α)sin α ＝×＋×＝． (2)因为cos α＝，sin α＝， 所以tan α＝， 所以＝ ＝－＝－＝－＝－． 11．已知0＜α＜＜β＜π，cos＝，sin(α＋β)＝． (1)求sin 2β的值； (2)求cos的值． [解]　(1)∵cos＝cos cos β＋sin sin β＝cos β＋sin β＝， ∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝， ∴sin 2β＝－． (2)∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β－＜，＜α＋β＜， ∴sin＞0，cos(α＋β)＜0． ∵cos＝，sin(α＋β)＝， ∴sin＝，cos(α＋β)＝－． ∴cos ＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝－×＋×＝． 1．已知cos＝－，则sin的值为(　　) A． B．± C．－ D． B　[∵cos＝－， ∴