课时分层作业27 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(二十七)　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 一、选择题 1．(2022·陕西榆林市高三一模)如图，角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则·＝(　　) A．cos(α－β) B．cos(α＋β) C．sin(α－β) D．sin(α＋β) A　[由题图可知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)， 所以·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．故选A．] 2．(2023·广西梧州高三模拟)已知tan＝3，则tan 2α＝(　　) A．－4 B．－ C．4 D． A　[由tan＝＝3，求得tan α＝－，则tan 2α＝＝－4．] 3．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A． B． C． D． A　[法一：因为tan 2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝．因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝．故选A． 法二：因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝．因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝．故选A．] 4．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋)]＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋)]＝－1 C　[由已知得：sin α cos β＋cos α sin β＋cos α cos β－sin α sin β＝2(cos α－sin α) sin β， 所以sin α cos β－cos α sin β＋cos α cos β＋sin α sin β＝0， 即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0， 所以tan(α－β)＝－1．] 5．(2022·四川遂宁三模)已知sin＝，则sin(1＋tan α)＝(　　) A．－ B． C．± D．－ A　[(1＋tan α)＝(1＋tan α)＝(1＋tan α)＝2， 因为sin＝， 所以sin ＝－cos ＝－cos ＝2sin2－1＝2×－1＝－， 所以原式＝－×2＝－．] 6．已知tan＝－2，则＝(　　) A．2 B． C．－2 D．－ D　[∵tan α＝tan ＝＝＝3， ∴＝＝＝＝＝－．故选D．] 二、填空题 7．(2022·四川泸州二模)已知sin＝，则cos＝________． －　[cos＝cos 2＝1－2sin2＝1－2×＝－．] 8．已知tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan(π－2α)的值为________． －1　[tan(π－2α)＝－tan 2α，而α＋β＋α－β＝2α， ∴tan 2α＝＝＝1， ∴tan(π－2α)＝－1．] 9．化简：＝________． －1　[＝ ＝＝－1．] 三、解答题 10．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－． (1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． [解]　(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜． 又∵tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0． ∴sin(α－β)＝－． (2)由(1)可得，cos(α－β)＝． ∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝． ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝． 11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上． (1)求cos 2α的值； (2)已知α∈，sin＝，－<β<0，求sin(α－2β)的值． [解]　(1)由题意得，tan α＝2， ∴cos 2α＝＝＝＝－． (2)由且α∈， 解得sin α＝，cos α＝． 又sin＝，β＋∈， ∴cos＝． ∴cos β＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝， 又－π＜2β＜0，cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝，∴sin 2β＝－＝－． ∴sin(α－2β)＝sin αcos 2β－cos αsin 2β ＝×－×＝． 1．如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，∠AOC＝α．若|AB|＝1，则sin α＝(　　) A．　　B． C． D． B　[∵A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，由＋＝1知圆O的半径为1， ∵∠AOC＝α，|AB|＝1，故△AOB为等边三角形，∠BOC＝60°－α， cos∠BOC＝cos(60°－α)＝，sin∠BOC＝sin(60°－α)＝． 则sin α＝sin[60°－(60°－α)]＝sin 60°