课时分层作业22 利用导数研究不等式恒(能)成立问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(二十二)　利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1．设f (x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3． (1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t∈，都有f (s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M． 由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x． 令g′(x)＞0得x＜0或x＞， 令g′(x)＜0得0＜x＜， 又x∈[0，2]， 所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以g(x)min＝g＝－， 又g(0)＝－3，g(2)＝1， 所以g(x)max＝g(2)＝1． 故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M， 则满足条件的最大整数M＝4． (2)对于任意的s，t∈，都有f (s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f (x)min≥g(x)max， 由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1． 在区间上，f (x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立． 设h(x)＝x－x2ln x，h′(x)＝1－2xln x－x， 令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞． 即m(x)＝xln x在上是增函数， 可知h′(x)在区间上是减函数， 又h′(1)＝0，所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0； 当＜x＜1时，h′(x)＞0． 即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1， 所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)． 2．(2023·四川绵阳一模)已知函数f (x)＝xex－bxln x－x2(b∈R)，其图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2e－3． (1)证明：当x>1时，f (x)>xex－x2＋1； (2)若函数g(x)＝f (x)＋(4－a)x－1在定义域上无极值，求正整数a的最大值． [解]　(1)由f (x)＝xex－bxln x－x2可得，f ′(x)＝(x＋1)ex－b(ln x＋1)－x． 因为函数f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2e－3， 所以f ′(1)＝2e－b－1＝2e－3，解得b＝2． 当x>1时，f (x)>xex－x2＋1等价于x2－2xln x－1>0，即x－2ln x－>0． 令F (x)＝x－2ln x－，则F ′(x)＝1－＋＝>0， 所以函数F (x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以F (x)>F (1)＝1－2ln 1－＝0， 所以当x>1时，f (x)>xex－x2＋1． (2)由题意得g(x)＝xex－2xln x－x2＋(4－a)x－1， 若g(x)＝f (x)＋(4－a)x－1无极值，则g′(x)≥0恒成立或g′(x)≤0恒成立． (i)当g′(x)≥0恒成立时，g′(x)＝(x＋1)ex－2(1＋ln x)－x＋4－a≥0， 即a－2≤(x＋1)ex－2ln x－x恒成立，所以a－2≤[x＋1ex－2ln x－x] min， 令h(x)＝(x＋1)ex－2ln x－x． 所以h′(x)＝(x＋2)ex－－1＝(x＋2)ex－＝(x＋2)(x>0)， 令φ(x)＝ex－，则φ′(x)＝ex＋>0， 即φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，φ＝－2<0，φ(1)＝e－1>0， 所以存在x0∈，使得φ(x0)＝e－＝0， 当x∈时，φ(x)<0，即h′(x)<0， 当x∈时，φ(x)>0，即h′(x)>0， 所以函数h(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数h(x)的最小值为h(x0)＝(x0＋1)e－2ln x0－x0＝(x0＋1)·－2ln x0－x0． 又因为e＝，即x0＝－ln x0， 所以h(x0)＝1＋＋2x0－x0＝1＋x0＋． 又因为x0∈，则h(x0)＝1＋x0＋∈， 所以a－2≤3，可得a≤5，所以正整数a的最大值是5． (ii)当g′(x)≤0恒成立时，g′(x)＝(x＋1)ex－2(1＋ln x)－x＋4－a≤0， 即a－2≥(x＋1)ex－2ln x－x恒成立，所以a－2≥[x＋1ex－2ln x－x] max， 又由(i)知，函数h(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)不存在最大值，即a没有最大值． 综上所述，正整数a的最大值是5． 3．(2023·四川遂宁模拟预测)已知函数f (x)＝ex－ax2－2x(a∈R)． (1)若a＝0，求f (x)的极值； (2)若不等式f (x)≥1－sin x对∀x∈[0