第4章 第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函 数模型的简单应用 [考试要求]　1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为． 3．由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 提醒：(1)两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度． (2)变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． [常用结论] 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin． (　　) (2)把y＝sin x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin ． (　　) (3)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的． (　　) (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，4π， B．2，， C．2，，－ D．2，4π，－ C　[由题意知A＝2，f ＝＝＝，初相为－．] 2．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 A　[y＝2sin＝2sin 2．] 3．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　) A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D　[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象，故选D．] 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象变换 　(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标． (2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． [典例1]　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f (x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin (2)(2023·四川雅安天立高三开学考试)已知函数f (x)＝2sin，将函数f (x)的图象的横坐标伸长为原来的4倍，再向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象． ①在下列网格纸中画出函数g(x)在上的大致图象； ②求函数f (x)在上的单调递减区间． (1)B　[依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f (x)＝sin的图象．] (2)[解]　①将函数f (x)的图象的横坐标伸长为原来的4倍， 得到y＝2sin的图象， 再向右平移个单位长度后，得到g(x)＝2sin＝2sin的图象， 列表如下： x－ － 0 π x － g(x) －2 0