第3章 第4节 定积分与微积分基本定理(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　定积分与微积分基本定理 [考试要求]　1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义． 1．定积分的有关概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f (x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f (ξi)Δx＝ f (ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间[a，b]上的定积分，记作f xdx ，即f (x)dx＝ f (ξi)． 在f (x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f (x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式． (2)定积分的几何意义 图形 阴影部分面积 S＝f (x)dx S＝－f (x)dx S＝f (x)dx－f (x)dx S＝f (x)dx－g(x)dx＝[f (x)－g(x)]dx 2．定积分的性质 (1) kf (x)dx＝kf (x)dx(k为常数)； (2)[f 1(x)±f 2(x)]dx＝f 1(x)dx±f 2(x)dx； (3)f (x)dx＝f (x)dx＋f (x)dx(其中a<c<b)． 提醒：求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算． 3．微积分基本定理 一般地，如果f (x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F ′(x)＝f (x)，那么f (x)dx＝F (b)－F (a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式． 其中F (x)叫做f (x)的一个原函数． 为了方便，常把F (b)－F (a)记作F (x)， 即f (x)dx＝F (x)＝F (b)－F (a)． [常用结论] 函数f (x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f (x)为偶函数，则f (x)dx＝2f (x)dx． (2)若f (x)为奇函数，则f (x)dx＝0． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数y＝f (x)在区间[a，b]上连续，则f (x)dx＝f (t)dt． (　　) (2)定积分一定是曲边梯形的面积． (　　) (3)若f (x)dx＜0，那么由y＝f (x)的图象，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 二、教材习题衍生 1．已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　) A．10t B．5t C．t D．t B　[s＝vdt＝10tdt＝5t2＝5t．] 2．dx＝________． 1　[dx＝ln(x－1)＝ln e－ln 1＝1．] 3．dx＝________． 　[dx表示由直线x＝0，x＝－1， y＝0以及曲线y＝所围成的图形的面积， ∴dx＝．] 4．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________． 　[如图，阴影部分的面积即为所求．，由得A(1，1)． 故所求面积为S＝(x－x2)dx ＝＝．] 考点一　定积分的计算 　计算定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和． 1．计算dx的值为(　　) A． B．＋ln 2 C．＋ln 2 D．3＋ln 2 B　[dx＝，＝2＋ln 2－，＝＋ln 2．故选B．] 2．(2023·贵阳一中模拟)计算定积分 (x2＋sin x)dx＝___． 　[(x2＋sin x)dx＝＝－＝．] 3．(ex＋2x)dx＝________． e－　[ (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋12)－[e－1＋(－1)2]＝e－．] 4．设函数f (x)＝则f (x)dx＝________． 　[f (x)dx＝x2dx＋1dx＝x3＋x＝＋2－1＝．] 点评：运用微积分基本定理求定积分时的四个关键点： (1)对被积函数要先化简，再求积分． (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分． (4)注意用“F ′(x)＝f (x)”检验积分的对错． 考点二　定积分的几何意义 　(1)根据题意画出图形． (2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和． (4)计算定积分，写出答案． 　利用定