第1章 备考技法1 利用基本不等式连续放缩求最值(课件)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 1 备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 2 备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 3 备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 4 备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 5 备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 6 备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 7 备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 8 备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 9 备考技法1　利用基本不等式连续放缩求最值 10 谢谢观看 THANK YOU! 11 当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性. eq \o([技法展示])　(1)已知a＞b＞0，那么a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为________． 4　由题意a＞b＞0，得a－b＞0， 所以b(a－b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))eq \s\up24(2)＝eq \f(a2,4)， 所以a2＋eq \f(1,ba－b)≥a2＋eq \f(4,a2)≥2eq \r(a2·\f(4,a2))＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝eq \f(4,a2)， 即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号，所以a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为4． (2)若x，y是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq \s\up24(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))eq \s\up24(2)的最小值是________． 4　∵x＞0，y＞0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq \s\up24(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))eq \s\up24(2)≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))． 又2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))＝2xy＋eq \f(1,2xy)＋2≥4， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq \s\up24(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))eq \s\up24(2)≥4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)＝y＋\f(1,2x)，,2xy＝\f(1,2xy)，)) 即x＝y＝eq \f(\r(2),2)时等号成立． [评析]　第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的． eq \o([技法应用]) (1)(2021·天津高考)若a＞0，b＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b的最小值为________． 2eq \r(,2)　因为a＞0，b＞0， 所以eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b≥2eq \r(,\f(1,a)·\f(a,b2))＋b＝eq \f(2,b)＋b≥ 2eq \r(,\f(2,b)·b)＝2eq \r(,2)， 当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(a,b2)且eq \f(2,b)＝b，即a＝b＝eq \r(,2)时等号成立， 所以eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b的最小值为2eq \r(,2)． (2)若a，b∈R，ab＞0，则eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________． 4　因为ab＞0，所以eq \f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq \f(2\r(4a4b4)＋1,ab)＝eq \f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq \f(1,ab)≥2eq \r(4ab·\f(1,ab))＝4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝2b2，,ab＝\f(1,2)))时取等号，故eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值是4． $