(教案)第3章 圆锥曲线的方程 阶段任务性复习-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

任务一　圆锥曲线的定义 问题1　椭圆是怎样定义的？ 提示：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 问题2　双曲线是怎样定义的？ 提示：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的差距． 问题3　抛物线是怎样定义的？ 提示：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． (1)已知点A(1,0)和圆B：(x＋1)2＋y2＝16.P是圆上任一点，则线段AP的垂直平分线l与线段PB的交点M的轨迹方程是________. ＋＝1　解析：(1)如图所示，连接MA. 因为M为线段AP的垂直平分线l上的一点， 所以|MP|＝|MA|. 于是|MB|＋|MA|＝|MB|＋|MP|＝|BP|＝4.又|BA|＝2， 所以点M的轨迹是以B，A为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)． 由题意知a＝2，c＝1， 所以b2＝a2－c2＝3. 故点M的轨迹方程为＋＝1. (2)若F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2的面积等于________. 3　解析：由已知，得a2＝16，b2＝9，c2＝25，所以a＝4，c＝5. 由于点M在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|，则M在右支上， 根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8， 又|MF1|＝5|MF2|，所以|MF1|＝10，|MF2|＝2， 而|F1F2|＝2c＝10， 则△MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N， 则F1N⊥MF2，且|F1N|＝＝3， 从而S△MF1F2＝×2×3＝3. 任务二　圆锥曲线的标准方程 问题1　椭圆的标准方程是什么？ 提示： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 问题2　双曲线的标准方程是什么？ 提示： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 问题3：抛物线的标准方程是什么？ 提示： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ (1)已知椭圆C：＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，长轴长为4，离心率为，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 B　解析：(1)设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，离心率为e. 因为长轴长为4，所以2a＝4，所以a＝2，a2＝4. 因为e＝，所以e2＝＝＝＝，所以b2＝2， 所以当椭圆C的焦点在x轴上时，椭圆C的标准方程为＋＝1；当椭圆C的焦点在y轴上时，椭圆C的标准方程为＋＝1.故选B. (2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，点M为圆O：x2＋y2＝12与C的一个交点，且|MF|＝3，则抛物线C的标准方程是(　　) A．y2＝2x　　 B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝6x C　解析：设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，M(xM，yM)，连接MO，过点M作MM1⊥准线，交y轴于点M2， 因为|MF|＝3＝xM＋，所以|MM2|＝xM＝3－，所以|M2O|＝yM＝＝. 在Rt△OMM2中，|M2O|2＋|MM2|2＝|MO|2，所以6p－p2＋2＝12，解得p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.故选C. 任务三　圆锥曲线的简单几何性质 问题1　椭圆有哪些简单几何性质？ 提示： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 2c＝2 对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是坐标原点 离心率 e＝，0<e<1 问题2