(教案)3.3.2 抛物线的简单几何性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

3.3.2　抛物线的简单几何性质 学习任务目标 1．掌握抛物线的几何性质．(数学建模) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(数学运算) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(数学运算、逻辑推理) 4．能解决直线与圆锥曲线的综合应用问题．(数学运算、逻辑推理) (1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　解析：(方法一)抛物线的准线为y＝－1，所以A到准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A到焦点的距离相等，所以坐标距离为5. (方法二)因为y＝4，所以x2＝4y＝16， 所以x＝4，所以A(4,4)，焦点坐标为(0,1)， 所以所求距离为＝＝5. (2)过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　) A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y C　解析：由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，所以动圆圆心的轨迹方程为x2＝12y. 知识点一　抛物线的几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性 质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R x∈R， y≥0 x∈R， y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 [微训练] 1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y C　解析：由题意，知抛物线方程为x2＝±2py，且＝3，即p＝6.因此抛物线方程为x2＝±12y. 2．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________. 4　解析：由题意双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线x＝－上，所以－＝－，解得p＝4. 知识点二　直线与抛物线的关系 1．直线与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系及判定方法(直线斜率为k) 位置关系 公共点 判定方法 相交 有一个或两个公共点 k＝0或 相切 有且只有一个公共点 Δ＝0 相离 无公共点 Δ<0 2．抛物线的焦点弦 设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论． (1)以AB为直径的圆与准线相切. (2)|AB|＝2(焦点弦长与中点坐标的关系)． (3)|AB|＝x1＋x2＋p. (4)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝，y1y2＝－p2. [微训练] 1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(　　) A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0 C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0 C　解析：设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2. 因为A，B在抛物线上，所以y＝8x1，y＝8x2， 两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)， 所以＝－4，所以直线AB的方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0. 2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若x1＋x2＝6，则|AB|＝________. 8　解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 抛物线几何性质的应用 1．设F为抛物线C：y2＝4x 的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　) A． B．1 C． D．2 D　解析：因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1,0)．又因为PF⊥x轴，所以P(1,2)， 把P点坐标代入曲线方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2. 2．已知点P(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋4的最小值为________. 4　解析：z＝x2＋y2＋4＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3.因为y2＝4x≥0，所以x∈[0，＋∞)， 所以当x＝0时，zmin＝4. 3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程． 解：由已知得＝2，所以＝4，解得＝， 即渐近线方程为y＝±x.