(教案)3.3.1 抛物线及其标准方程-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 学习任务目标 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学建模) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(数学建模) 3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(数学运算) (1)在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2，0)，若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则点P的轨迹方程是＋＝1. (2)在平面直角坐标系中，A(－3,0)，B(3,0)，若动点M满足||MA|－|MB||＝4，则点M的轨迹方程是－＝1. 知识点一　抛物线的定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 知识点二　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ [微训练] 1．抛物线y＝x2的准线方程是________. y＝－1　解析：因为y＝x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1. 2．动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是________. y2＝8x　解析：由题可知，动点P到直线x＋2＝0的距离与它到点M(2,0)的距离相等，所以点P的轨迹为以(2,0)为焦点的抛物线，故其轨迹方程为y2＝8x. 求抛物线的标准方程 1．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　) A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x D　解析：由已知可得双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D. 2．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. y2＝－8x或x2＝－y　解析：设抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)． 将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 3．(1)准线方程为y＝的抛物线的标准方程为__________； (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为__________. (1)x2＝－y　解析：因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝.所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)x2＝10y和x2＝－10y　解析：已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)．由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5.所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 抛物线的定义的应用 已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r. 探究1：点M到圆心C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离有什么关系？ 提示：相等． 探究2：点M的轨迹是什么？求出其轨迹方程． 提示：由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y. 【例1】已知抛物线y2＝4x的焦点是F，P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的点P的坐标． 解：如图，作PN⊥l于点N(l为准线)，作AB⊥l于点B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号． 所以(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5. 此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，所以P(1,2)． 【类题通法】 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离．因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间的距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 1．已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,4)，则|PA|＋|PF|的最小值为__________. 2　解析：由题意可知点A(3,4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为A，F两点间的距离，F(1,0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝＝2， 即|PA|＋|PF|的最小值为2. 2．若动点M到点F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程． 解：①当动点M位于y轴右侧时，因为动点M到F的距离比它到y