(教案)3.2.1 双曲线及其标准方程-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 学习任务目标 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学建模) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理) (1)已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是________. 线段AB　解析：由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB. (2)如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________. (－6,2)∪(3，＋∞)　解析：由于椭圆焦点在x轴上， 所以即 解得a>3或－6<a<－2. 知识点一　双曲线的定义 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． [微训练] 1．已知F1(3,0)，F2(－3,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．不存在 D．一条射线 B　解析：动点到两定点的距离的差为常数4，而常数小于两定点之间的距离，故点P的轨迹为双曲线的一支． 2．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D⇒/乙，只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线． 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 [微训练] 1．已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1或－＝1 D．－＝0或－＝0 C　解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24.故选C. 2．已知双曲线方程为x2－y2＝1，则它的右焦点坐标为________. 　解析：双曲线的方程可化为x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，c2＝a2＋b2＝， 所以c＝，所以右焦点坐标为. 双曲线定义的应用 1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点．若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　) A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对 B　解析：由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝8.又因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，所以|PF2|＝17. 2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________. 2　解析：不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2.由题意知|F1F2|＝2c＝4. 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝， 所以|PF1|·|PF2|＝8，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 3．已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则|ON|的大小为(O为坐标原点)________. 1或9　解析：因为ON是△PF1F2的中位线， 所以|ON|＝|PF2|. 因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10， 所以|PF2|＝2或|PF2|＝18. 所以|ON|＝1或|ON|＝9. 求双曲线的标准方程 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切， 探究1：设动圆的半径为R，|MC1|，|MC2|分别怎样表示？ 提示：|MC1|＝1＋R，|MC2|＝3＋R. 探究2：点M到C1，C2的距离之间满足什么关系？ 提示：|MC2|－|MC1|＝2. 探究3：你能根据以上探究求出点M的轨迹方程吗？ 提示：点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8. 故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)a＝4，经过点A； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)； (3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)． 解：(1)当焦点在