(教案)3.2.2 第2课时 双曲线几何性质的应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

第2课时　双曲线几何性质的应用 学习任务目标 1．理解直线与双曲线的位置关系．(直观想象、逻辑推理) 2．会求解弦长问题．(数学运算、逻辑推理) (1)直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________. 相交　解析：直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得＋＜1，所以P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． (2)已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，过点P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为______________. x＋2y－3＝0　解析：易知此弦所在直线的斜率存在，设为k，弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)．所以＋＝1①，＋＝1②. ①－②得＋＝0. 因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0. 所以k＝＝－. 所以，此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 知识点　直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点. (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离. [微训练] 1．已知双曲线的方程为x2－y2＝1，过P(－1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这样的l共有(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 B　解析：数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点． 2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　解析：由 得(1－k2)x2－4kx－10＝0. 由题意，得 解得－<k<－1. 直线与双曲线的位置关系 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解：联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)． (1)由得－＜k＜且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线l与双曲线有两个不同的公共点． (2)由得k＝±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线与双曲线有且只有一个公共点． 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点． 故当k＝±或k＝±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点． (3)由得k＜－或k＞， 此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线没有公共点． 弦长及中点弦问题 【例1】已知双曲线E的中心为坐标原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 B　解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意知c＝3，所以a2＋b2＝9. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 两式作差得＝＝＝. 又AB的斜率是＝1， 所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5， 所以双曲线E的标准方程是－＝1. 【例2】若过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|的长为________. 3　解析：易得双曲线的左焦点F1(－2,0)， 所以直线AB的方程为y＝(x＋2)， 与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝·＝×＝3. 【类题通法】 弦长和中点弦问题 (1)解决弦长问题和中点弦问题时，我们要注意根与系数的关系与弦长公式和中点坐标公式的应用，也可以考虑应用点差法． (2)弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则： |AB|＝＝. 1．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长为________. 2　解析：由消去y，得x2＋3x