(教案)3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 学习任务目标 1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、数学运算) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(数学抽象、数学运算) (1)椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为________. 　解析：由题意知b＝c，a＝c，所以e＝＝. (2)若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________. 　解析：由题意得a2＝2，b2＝m，所以c2＝2－m.又＝，所以＝，所以m＝. 知识点一　双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：坐标原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 知识点二　双曲线的中心和等轴双曲线 1．双曲线的中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝. [微训练] 1．下列曲线中离心率为的是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 B　解析：因为e＝，所以e2＝＝，所以＝.故选B. 2．已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是(　　) A．虚轴长为4 B．焦距为2 C．离心率为 D．渐近线方程为2x±3y＝0 D　解析：对于A，双曲线的方程为－＝1，其中b＝3，虚轴长为6，故A错误；对于B，双曲线的方程为－＝1，其中a＝2，b＝3，则c＝＝，则焦距为2，故B错误；对于C，离心率为e＝＝，故C错误；对于D，渐近线方程为y＝±x，即2x±3y＝0，故D正确．故选D. 3．双曲线－y2＝1的顶点坐标是________. (－4,0)，(4,0)　解析：由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)． 根据双曲线的方程研究几何性质 1．(多选)已知双曲线方程为x2－＝1，则(　　) A．焦点F(±1,0) B．渐近线方程为y＝±x C．离心率为 D．实轴长为2 BC　解析：因为双曲线方程为x2－＝1，所以a＝1，b＝，c＝＝. 所以该双曲线的焦点F(±，0)，故A错误； 渐近线方程为y＝±x，故B正确；离心率e＝＝，故C正确；实轴长2a＝2，故D错误． 2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1的关系是(　　) A．有相同的离心率 B．有相等的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的顶点 B　解析：在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，所以离心率e＝＝，焦距2c＝8，焦点为(－4,0)，(4,0)，顶点为(－5,0)，(5,0)，(0,3)，(0，－3)． 在双曲线－＝1中，a＝2，b＝2，c＝4，则离心率e＝＝，焦距2c＝8，焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点为(0,2)，(0，－2)． 综上可知，椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦距．故选B. 利用双曲线的几何性质求方程 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为8，右顶点(a,0)到双曲线的一条渐近线的距离为. 探究1：由虚轴的长可以得到哪一个量？ 提示：可得b＝4. 探究2：由右顶点到双曲线渐近线的距离可以得到哪一个量？ 提示：＝，解得a＝3. 探究3：你能写出双曲线的方程吗？ 提示：－＝1. 【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为. (2)过点(2，－2)且与－y2＝1有相同的渐近线． 解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)． 由题意知，2b＝12，e＝＝， 所以b＝6，c＝10，a＝8. 所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)(方法一)当焦点在x轴上时，由于＝. 故可设方程为－＝1， 代入点(2，－2)的坐标得b2＝－2(舍去)； 当焦点在y轴上时，可知＝， 故可设方程为－＝1， 代入点(2，－2)的坐标得a2＝2. 所以所求双曲线方程为－＝1. (方法二)因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2，－2)的坐标得λ＝－2， 所以所求双曲线的方程为－y2＝－2， 即－＝1. 【类题通法】 利用几何性质求双曲线的方程 (1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可表示为－＝λ(λ≠0)． (2)与双曲