(教案)2.3.1 两条直线的交点坐标-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 学习任务目标 1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(数学运算) 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(直观想象) (1)方程组的解的个数为________. 0　解析：方程组无解，故解得个数为0. (2)方程组的解是________. 　解析：解方程组得 知识点　两直线的交点坐标 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上，所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解． [微训练] 1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　) A． B． C． D． B　解析：解方程组 得所以交点坐标为. 2．经过两点A(－2,5)，B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是(　　) A． B．(－3,0) C． D．(3,0) A　解析：过点A(－2,5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点坐标为. 3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 B　解析：联立解得所以交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0，解得a＝－1. 两直线的交点问题 1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　) A．(－4，－3) B．(4,3) C．(－4,3) D．(3,4) C　解：由题意得：解得 2．若5x＋4y＝8＋m和3x＋2y＝6的交点在第一象限，则实数m的取值范围是________. (2,4)　解析：解方程组得 由题意得得2<m<4. 所以实数m的取值范围是(2,4)． 3．直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，则直线l的方程为________. 3x－2y＋9＝0 　解析：(方法一)联立方程 解得即直线l过点(－1,3)． 因为直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0. (方法二)因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行， 所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0. 因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行， 所以＝≠，解得λ＝. 所以，直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0. 判断直线的位置关系并求交点坐标 如图，直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点为P. 探究1：能根据图形求出交点坐标吗？ 提示：解方程组可得P(－2,2)． 探究2：这两直线的位置关系与方程组解的个数有什么关系？ 提示：两直线相交⇔两直线的方程组成的方程组有唯一的解． 【例1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：(1)解方程组得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－2y＝0，l2：x＋y－10＝0； (2)l1：2x－y＋2＝0，l2：4x－2y－5＝0； (3)l1：x＋2y－3＝0，l2：2x＋4y－6＝0. 解：(1)解方程组得所以l1与l2相交，交点坐标是. (2) ①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l1∥l2. (3)①×2得6x＋8y－10＝0， 因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合． 直线过定点问题 考察直线方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)， 探究1：a的值分别取0,1，－1得到的直线方程是什么？ 提示：分别为x＋y－1＝0，y＝3,2x＋y＋1＝0 探究2：通过作图、求交点等方法，可以得出三条直线有什么共同的特征？ 提示：恒过定点(－2,3)． 【例2】求证：不论m取何实数，直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0都过一个定点，并求这个定点的坐标． 解：(方法一)令m＝0，得x＋y－1＝0，① 令m＝1，得4x－y＋2＝0.② 将①②联立得得 把x＝－，y＝代入(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0，