(教案)2.3.3 点到直线的距离公式-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.3.3　点到直线的距离公式 学习任务目标 1．掌握点到直线的距离公式．(直观想象) 2．能用公式求点到直线的距离．(数学运算) 用尺规怎样作点A到直线l的距离？ 提示：过点A向直线l作垂线，垂足为B，则AB即为点A到直线l的距离． 知识点　点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. [微训练] (1)原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1 B． C．2 D． D　解析：d＝＝. (2)点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　) A．7 B．5 C．3 D．2 A　解析：直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝5－(－2)＝7. 点到直线的距离 1．点A(－1,2)到直线y＝2x＋5的距离为________. 　解析：y＝2x＋5可化为2x－y＋5＝0，所以点A(－1,2)到直线2x－y＋5＝0的距离d＝＝. 2．若点M(－2,1)到直线x＋2y＋c＝0的距离为1，则c的值为________. ±　解析：由点到直线的距离公式可知＝＝1，所以c＝±. 3．已知点M(3,2)，N(－1,2)，F(1,0)，则点M到直线NF的距离为________. 2　解：因为M(3,2)，N(－1,2)，F(1,0)，易知NF的斜率k＝－，故NF的方程为y＝－(x－1)，即x＋y－＝0. 所以点M到NF的距离为 ＝2. 点到直线距离的公式的应用 已知点A(－1,2)，B(3,0)，直线l过点M(－2,1)，直线l到点A，B的距离相等． 探究1：符合条件的直线l有哪几条？ 提示：满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行． 探究2：能不能求出这些直线的方程？ 提示：(方法一)由题意可得kAB＝－，线段AB的中点为C(1,1)． 当直线过线段AB的中点时，因为点M与点C的纵坐标相同，所以直线MC的方程为y＝1； 当直线与AB平行时，其斜率为－，由点斜式可得直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0. 综上，所求直线的方程为y＝1或x＋2y＝0. (方法二)显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b. 根据条件有 化简得或 所以或 故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 【例1】已知点P(1,2)，则当点P到直线2ax＋y－4＝0的距离最大时，a＝(　　) A．1 B．－ C． D． B　解析：因为直线2ax＋y－4＝0恒过定点A(0，4)， 故当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P，A的直线的斜率为－2， 所以直线2ax＋y－4＝0的斜率为，故a＝－. 1．点(4，a)到直线3y－4x＝0的距离不大于3，则a的取值范围是(　　) A． B．[3,4] C． D．(－∞，0]∪[10，＋∞) C　解析：点(4，a)到直线3y－4x＝0的距离d＝＝≤3，变形为|3a－16|≤15，即－15≤3a－16≤15，解得≤a≤，所以a的取值范围是. 2．设直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点为A，则点A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离的最大值为(　　) A．4 B． C．3 D． C　解析：联立直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的方程，解得交点A(1,2)， 所以点A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离d＝＝≤＝3(b≠0)． 当且仅当b＝1时取等号，当b＝0时，d＝3＜3， 故点A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离的最大值为3. 对称问题 最新的量子理论发现，两颗向相反方向移动但速率相同的电子，即使一颗行至太阳边，一颗行至冥王星边，在如此遥远的距离下，它们仍保有关联性；亦即当其中一颗被操作(例如量子测量)而状态发生变化，另一颗也会即时发生相应的状态变化．给定一条直线l和直线外的一个点P，设点P关于直线l的对称点为P′. 探究1：点P与其对称点P′满足什么关系？ 提示：点P和点P′的中点在直线l上，到直线l的距离相等，两点连线与直线l垂直． 探究2：怎样求对称点P′的坐标？ 提示：设出点P′的坐标，根据条件列出方程组求解． 【例2】(1)点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(　　) A．(1,0) B．(0,1) C．(0,－1) D．(2,1) (2)已知直线l1：y＝x＋2，直线l2与l1关于直线y＝－x＋1对称，则直线l2的方程为__________. B　解析：设点A(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)， 则有解得a＝0，b＝1， 故点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0,1)． (2)x－y＋＋1＝0　解析：在l1上取一点P(0,2)， 设点P关于直线y＝－x＋