(教案)2.3.2 两点间的距离公式-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.3.2　两点间的距离公式 学习任务目标 掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理) (1)数轴上－3表示的点P1与2表示的点P2之间的距离P1P2＝5； (2)数轴上与1表示的点距离是2的点的坐标是－1或3. 知识点　两点间的距离 1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 2．两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. (3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|. [微训练] 1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|＝(　　) A．5 B． C． D．4 A　解析：|MN|＝＝5. 2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 C　解析：由两点间的距离公式得 (－2－a)2＋(－1－3)2＝52， 所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1，或a＝－5. 两点间的距离公式 1. 已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)，B(10,4)，C(2，－4)，则边BC上的中线AM的长为(　　) A．8 B．13 C．2 D． D　解：由B(10,4)，C(2，－4)可得中点M(6,0)，又A(7,8)，所以|AM|＝＝. 2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为C(1,1)，则|AB|等于(　　) A．2 B． C．4 D．2 D　解：设A(a,0)，B(0，b)，则即所以A(2,0)，B(0,2)，所以|AB|＝＝2. 3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________. 2　解析：设A(x,0)，B(0，y)，因为AB的中点为P(2，－1)，所以＝2，＝－1.所以x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)．所以|AB|＝＝2. 坐标法求解平面几何问题 【例1】(1)点P在直线2x－y＝0上，若M(4，－2)且|PM|＝5，则点P的坐标为______________. (2)在平面直角坐标系xOy中，点A(－3,3)，B(－1,1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得|PA|＝|PB|，则实数m的取值范围是________. (1)(1,2)或(－1，－2)　解析：(1)设P(x,2x)，由两点间距离公式得＝5，解得x＝1或－1，故P(1,2)或(－1，－2)． (2)[－2，2]　解析：设P(x，x－m)， 因为|PA|＝|PB|，所以|PA|2＝3|PB|2， 所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2， 化简得2x2－2mx＋m2－6＝0， 则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0， 解得－2≤m≤2， 即实数m的取值范围是[－2，2]． 已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设点P(x,0)，则有 |PA|＝＝， |PB|＝＝. 由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－. 即所求点P为， 且|PA|＝＝. 坐标法证明平面几何问题 已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)． 探究1：在平面直角坐标系中作出△ABC，猜想三角形的形状． 提示：作图： ∠ABC为等腰直角三角形． 探究2：如何用计算的方法证明你的猜想？ 提示：计算出|AB|，|AC|，|BC|，利用等腰三角形定义、勾股定理逆定理证明． 【例2】如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，证明：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 证明：如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系． 设A(0，a)，B(－b,0)，C(b,0)，D(m,0)(－b<m<b)． 则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2， |AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， |BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2， 所以|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， 所以|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 【类题通法】 坐标法解决几何问题关键 建坐标系的原则主要有两点： ①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； ②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． 如图，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证