(教案)2.2.1 直线的点斜式方程-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 学习任务目标 1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(逻辑推理) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(数学运算) 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(直观想象) (1)初中学习过的直线的方程有y＝kx＋b. (2)怎样作直线y＝kx＋b的图象？ 提示：取直线上两点，连线得到直线． 知识点一　直线的点斜式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 点P(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在的直线 [微训练] 1．直线的方程可表示成点斜式方程的条件是(　　) A．直线的斜率存在 B．直线的斜率不存在 C．直线不过原点 D．以上均不正确 A　解析：直线的点斜式方程只能适用于斜率存在的直线． 2．直线y－1＝－2(x＋1)的斜率是(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．2 B　解析：由直线的点斜式方程知k＝－2. 知识点二　直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b. 2．直线的斜截式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 斜率存在的直线 [微训练] 1．直线l：y＝kx＋b的图象如图所示，则k，b满足(　　) A．k>0，b>0 B．k<0，b<0 C．k<0，b>0 D．k>0，b<0 B　解析：由题图可知直线的倾斜角为钝角，且直线在y轴上的截距为负值，故k<0，b<0. 2．直线y＝x－4在y轴上的截距是________. －4　解析：由y＝x－4，令x＝0，得y＝－4. 直线的点斜式方程 一条直线经过点P0(x0，y0)，斜率为k， 探究1：过一个点，斜率一定的直线是不是确定的？ 提示：确定． 探究2：直线上任意点P(x，y)(异于点P0)满足什么关系？ 提示：k＝ 探究3：方程k＝表示直线l上的所有点吗？ 提示：不能表示P0点． 【例1】求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 解：(1)由直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3， 得直线的点斜式方程为y－3＝－3(x＋4)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0. (3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1. 又因为直线过点P(－2,3)，所以直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)． 【类题通法】 求直线的点斜式方程的步骤 (1)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (2)直线l过点P(2，－3)，且与过点M(－1,2)，N(5，2)的直线垂直，求直线l的方程． 解：(1)直线 y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)． (2)直线MN的斜率k＝＝0，所以直线MN平行于x轴． 又直线l垂直于直线MN，因此直线l的倾斜角为90°，又直线l过点P(2，－3)，所以直线l的方程为x－2＝0，即x＝2. 直线的斜截式方程 【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2. (3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 【例3】已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1垂直，且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 解：因为l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3， 所以l的斜率为. 因为l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y＝4x－2，所以l在y轴上的截距为2， 所以直线l的方程为y＝x＋2. 1．已知直线l1的方程为y＝－3x＋6，l2的方程为y＝－4x－7，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． 解：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－3. 又因为l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－3. 由题意知l2在y轴上的