(教案)2.2.3 直线的一般式方程-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.2.3　直线的一般式方程 学习任务目标 1．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般形式．(逻辑推理) 2．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．(数学运算) (1)直线方程y－y0＝k(x－x0)化为Ax＋By＋C＝0的形式为kx－y＋y0－kx0＝0. (2)直线x－2y＋1＝0的斜率为. 知识点　直线的一般式方程 1．关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，A≠0，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两坐标轴上的截距分别为－，－. 3．直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程． (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列． (3)x的系数一般不为分数和负数． (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． [微训练] 1．直线－2x＋y＋3＝0的斜率k＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ A　解析：直线方程化为斜截式为y＝2x－3，所以斜率k＝2.故选A. 2．已知直线方程5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上的截距为__________，在y轴上的截距为________. 4　5　解析：将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＋＝1，在x轴、y轴上的截距分别为4,5. 直线的一般式方程 1．直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　) A． B．－5 C． D．－3 D　解析：令y＝0，则x＝－3. 2．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　B　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 3．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1. 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x＋2，化为一般式方程为4x－y＋2＝0. (3)由两点式方程可知， 所求直线方程为＝， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (4)由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 一般形式下的平行与垂直问题 已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，a≠1.当a取何值时，A∩B＝∅？ 探究1：集合A，B分别表示什么元素构成的集合？ 提示：是由点构成的集合． 探究2：集合A，B的元素能构成一条直线吗？ 提示：集合表示去除了一个点(2,3)的直线，集合B表示一条直线． 探究3：A∩B＝∅从几何角度怎样解释？ 提示：集合A，B表示的直线平行． 【例1】已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值． 解：(方法一)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知： ①当m＝0时，显然l1与l2不平行； ②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠，解得m＝2或m＝－3，所以m的值为2或－3. (方法二)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0. 显然l1与l2不重合，所以l1∥l2. 同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然l1与l2不重合，所以l1∥l2. 所以m的值为2或－3. 【例2】当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 解：(方法一)由题意知，直线l1⊥l2. ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5y－4＝0不垂直． ③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－. 当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 即·＝－1，所以a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. (方法二)由题意知直线l1⊥l2. 所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1. 将a＝±1代入方程，均满足题意． 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 【类题通法】 1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝