(教案)2.1.1 倾斜角与斜率-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 学习任务目标 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(数学抽象) 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(数学抽象) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(数学运算) (1)直线y＝2x比直线y＝x的倾斜程度要大. (2)90°的角没有(填“有”或“没有”)正切值． 知识点一　倾斜角的相关概念 定义 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0° 图示 范围 0°≤α<180° 作用 用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向. 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角 [微训练] 1．若直线x＝1的倾斜角为α，则α(　　) A．等于0° B．等于45° C．等于90° D．不存在 C　解析：直线x＝1垂直于x轴，因此倾斜角α等于90°. 2．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________. 90°＜α＜180°　解析：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°. 知识点二　斜率的概念及斜率公式 1．定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值. 2．记法：k＝tan_α. 3．斜率与倾斜角的对应关系： 图示 倾斜角α α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 4．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝. [微训练] 1．若直线l的倾斜角α＝135°，则其斜率k＝(　　) A． B． C．－1 D．1 C　解析：k＝tan 135°＝－1. 2．已知点A(1,0)，B(－1,1)，则直线AB的斜率为(　　) A．－ B． C．－2 D．2 A　解析：直线AB的斜率k＝＝－. 直线的倾斜角 1．下列说法中，正确的是(　　) A．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则tan α＞0 D．任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率 D　解析：当α＝90°时，直线的斜率不存在，故A错误；直线斜率为tan α，但只有α∈[0°，180°)时α才是直线的倾斜角，故B错误；α＝0°时，tan α＝0，故C错误；D正确．故选D. 2．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　解析：如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D. 3．如图，已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°.则直线l2的倾斜角为________. 135°　解析：如图，由题意知，∠3＝120°，所以∠2＝120°. 所以∠1＝180°－120°－α1＝45°.所以α2＝180°－45°＝135°. 直线的斜率 【例1】已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B.若kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2,0)或(0，－4) B．(2,0)或(0，－8) C．(2,0) D．(0，－8) B　解析：设B(x,0)或(0，y)，因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4， 所以x＝2，y＝－8， 所以点B的坐标为(2,0)或(0，－8)． 【例2】求经过下列两点的直线的倾斜角和斜率． (1)A(－2,0)，B(－5,3)； (2)A(3,2)，B(5,2)； (3)A(3，－1)，B(3,3)． 解：(1)因为A(－2,0)，B(－5,3)， 所以kAB＝＝＝－1. 故直线AB的倾斜角为135°. (2)因为A(3,2)，B(5,2)， 所以kAB＝＝0. 故直线AB的倾斜角为0°. (3)因为A(3,－1)，B(3,3)， 所以直线AB的倾斜角为90°，斜率不存在． 1．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1,0)，B(2，a)，C(a,1)，则实数a的值是________. 　解析：依题意得kAB＝kAC， 即＝，解得a＝. 2．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝________. 6　解析：由题可知kAB＝＝3，kAC＝＝. 因为A，B，C三点共线，所