(教案)2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 学习任务目标 1．理解两条直线平行或垂直的判断条件．(逻辑推理) 2．会利用斜率判断两条直线是否平行或垂直．(数学运算) (1)两直线平行，则两直线的倾斜角的关系为相等. (2)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为(3,0)或(0，－3). 知识点一　两条直线平行与斜率之间的关系 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 [微训练] 1．已知过A(－2，m)和B(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为(　　) A．0 B．－8 C．2 D．10 B　解析：由题意得＝－2，解得m＝－8. 2．下列说法错误的是(　B　) A．若两条直线斜率相等，则这两条直线平行或重合 B．若l1∥l2，则k1＝k2 C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行或重合 知识点二　两条直线垂直与斜率之间的关系 对应关系 直线l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 直线l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 [微训练] 1．已知直线l1的斜率为k1＝2，直线l2的斜率为k2＝－，则l1与l2(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 C　解析：因为k1·k2＝2×＝－1，所以l1⊥l2. 2．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝－3，l1⊥l2，则k2＝________. 　解析：因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，所以k2＝＝－＝. 两直线平行的判定及应用 1．已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1，1)．若直线AB∥直线MN，则实数m的值为________. 0或1　解析：若直线AB的斜率不存在，则m＝－2.此时M(0,3)，N(1,1)，其斜率存在，显然直线AB与MN不平行． 若直线AB的斜率存在，因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即＝，解得m＝0或1.经检验符合题意． 2．判断下列各题中的直线l1与l2是否平行． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1，3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 解：(1)k1＝＝1，k2＝＝， k1≠k2，故l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2. 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M不共线，故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1，l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2. 两直线垂直的判定及应用 探究1：如果两条直线l1，l2垂直，这两条直线的倾斜角可能相等吗？ 提示：不可能． 探究2：如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α1，且α1<α2.若l1⊥l2，则α1与α2之间有什么关系？ 提示：α2＝α1＋90°. 【例1】(1)l1经过点A(3,2)，B(3,－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直． (2)已知直线l1经过点A(3,a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1,a－2)．若l1⊥l2，求a的值． (1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5.此时k2＝0.所以l1⊥l2，满足题意． 当l1的斜率k1存在时，a≠5， 由斜率公式， 得k1＝＝，k2＝＝. 由l1⊥l2，知k1k2＝－1，即×＝－1，解得a＝0.综上所述，a的值为0或5. 【例2】已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 解：由斜率公式可得 kAB＝＝， kBC＝＝0， kAC＝＝5. 因为kBC＝0， 综上所述，BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在． 设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2， 由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1， 即k1·＝－1，k2·5＝－1， 解得k1＝－，k2＝－. 所以BC边上的高所在直线斜率不存在； AB边上的高所在直线斜率为－； AC边上