(教案)第1章 空间向量与立体几何 阶段任务性复习-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

任务一　空间向量的运算 问题1：空间向量的线性运算的法则有哪些？符合哪些运算律？ 提示：空间向量的线性运算法则有四边形法则、三角形法则、数乘法则；符合交换律、结合律、数乘的结合律． 问题2：空间向量的数量积是怎样定义的？有哪些性质？ 提示：(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角． (2)空间两向量的数量积的性质： 向量 数量 积的 性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 同向：a·b＝|a|·|b| 共线 反向：a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ (1)(多选题)如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下选项正确的是(　　) A．＋＋＋＝0 B．(－)·(－)＝0 C．－＋－＝0 D．·＝· BCD　解析：显然A错误；(－)·(－)＝·＝0，所以B正确；－＋－＝＋＝0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此D正确． (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. ①求的长； ②求与夹角的余弦值． 解：记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以a·b＝b·c＝c·a＝. ①||2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×＝6， 所以||＝.即AC1的长为. ②因为＝b＋c－a，＝a＋b， 所以||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 所以cos〈，〉＝＝. 即与夹角的余弦值为. 任务二　利用空间向量判定平行、垂直 问题1：怎样判定空间直线平行、垂直？ 提示：设u1，u2 分别是直线l1，l2的方向向量． 则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2；l1⊥l2⇔u1·u2＝0. 问题2：怎样判定直线与平面平行、垂直？ 提示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α， 则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0；l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn. 问题3：怎样判定平面与平面平行、垂直？ 提示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量， 则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F. (1)证明：PA∥平面EDB； (2)证明：PB⊥平面EFD. 证明：以D点为坐标原点，，，所在的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示)．设DC＝a. (1)连接AC，交BD于点G，连接EG. 依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E， 因为G是正方形ABCD的中心， 所以点G的坐标为，且＝(a,0，－a)，＝， 所以＝2，即PA∥EG，而EG⊂平面EDB且PA∉平面EDB， 所以PA∥平面EDB. (2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)， 又＝， 故·＝0＋－＝0， 所以PB⊥DE. 由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD， 所以PB⊥平面EFD. 任务三　利用空间向量求距离 问题1：怎样求点到直线的距离？ 提示：如图，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 问题2：怎样求点到平面的距离？ 提示：如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．PQ＝＝. 问题3：怎样求直线到平面、平面与平面的距离？ 提示：把直线到平面的距离转化为直线上的点到平面的距离；平面与平面的距离转化为平面上的点到另一个平面的距离． 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求： (1)点M到直线PQ的距离； (2)点M到平面AB1P的距离． 解：如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，B1(0,0,4)． (1)因为＝(－2，－3,2)，＝(－4，－2，－2)， 所以在上的射影的模为 ＝ ＝＝. 故点M到PQ的距离为＝＝. (2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的一个法向量，则n⊥，n⊥