(教案)1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

第2课时　用空间向量研究夹角 学习任务目标 1．理解直线与平面所成角的概念．(直观想象) 2．会用向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角．(逻辑推理、数学运算) (1)＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)，则cos〈，〉＝________. －　解析：因为＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)， 所以cos〈，〉＝＝－. (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________. (1,1,1)(答案不唯一)　解析：设正方体的棱长为1.依题意，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)． 所以＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)． 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 所以 令x＝1，得n＝(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量． 知识点　空间角的向量求法 角 向量求法 与相应向量夹角的关系 范围 异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 与〈u，v〉相等或互补 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ 平面与平面的夹角 设平面α，β的法向量分别是n1和n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ 与〈n1，n2〉相等或互补 [微训练] 1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° C　解析：二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，又cos〈m·n〉＝＝＝，所以m与n所成的夹角为45°，所以二面角的大小为45°或135°. 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点．若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是________. 90°　解析：因为A1B1⊥平面BCC1B1， 所以A1B1⊥MN. 因为·＝(＋)·＝·＋·＝0，所以MP⊥MN，即∠PMN＝90°. 线线角、线面角 山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m. 探究1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？ 提示：设异面直线AC与BD所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|. 探究2：如何求斜线BD与地面所成角α？ 提示：设地面的法向量为n，则sin α＝|cos〈，n〉|. 【例1】如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 解：由于AC＝BC＝2，D是AB的中点， 所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 在Rt△VCD中，当θ＝时，CD＝，所以V(0,0，)． 所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)． 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 【例2】 如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． (1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小． 解：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)， 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)． 又AN＝AB，M，S分别为PB，BC的中点， 所以N，M，S. (1)证明：＝，＝， 所以·＝·＝0. 因此CM⊥SN. (2)＝. 设a＝(x，y，z)为平面CMN的法向量， 所以·a＝0，·a＝0. 则所以 取y＝1，得a＝(2,1，－2)为平面CMN的一个法向量． 因为cos〈a，〉＝＝－， 所以〈a，〉＝π. 所以SN与平面CMN所成的角为π－＝. 1．已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　解析：依题意，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，设四棱锥S­ABCD的棱长为， 则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)， 所